Обобщение върху несобствени интеграли

Несобствените интеграли са определени интеграли, които покриват неограничена площ.

Един от видовете несобствени интеграли е интеграл, в който поне една от крайните точки е изтеглена до безкрайност. Например ${\displaystyle {\int }_1^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{x^2}}dx}$‍ е несобствен интеграл. Той може да се разглежда като границата ${\displaystyle \underset{b\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_1^b{\displaystyle \frac{1}{x^2}}dx}$‍.

Друг вид несобствен интеграл е интеграл, при който крайните точки са ограничени, но интегрираната функция е неограничена в едната (или двете) от тях. Например ${\displaystyle {\int }_0^1{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}dx}$‍ е несобствен интеграл. Той може да се разглежда като границата ${\displaystyle \underset{a\to 0^{+}}{lim}{\int }_a^1{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}dx}$‍.

Неограничена площ, която не е безкрайна? Това истина ли е? Ами, да! Не всеки несобствен интеграл има крайна стойност, но някои от тях определено имат. Когато границата съществува, казваме, че интегралът е сходящ, а когато не съществува, казваме, че е разходящ.

Нека изчислим, например, несобствения интеграл ${\displaystyle {\int }_1^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{x^2}}dx}$‍. Както казахме по-рано, полезно е да се разглежда този интеграл като границата ${\displaystyle \underset{b\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_1^b{\displaystyle \frac{1}{x^2}}dx}$‍. Можем да използваме фундаменталната теорема на анализа, за да намерим израза за интеграла:

Сега се отървахме от интеграла и трябва да сметнем граница:

Нека изчислим, например, несобствения интеграл ${\displaystyle {\int }_0^1{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}dx}$‍. Както казахме по-рано, полезно е да се разглежда този интеграл като границата ${\displaystyle \underset{a\to 0}{lim}{\int }_a^1{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}dx}$‍. Отново ще използваме фундаменталната теорема на анализа, за да намерим израз за интеграла:

Сега се отървахме от интеграла и трябва да сметнем граница: