Доказателство на фундаменталната теорема на математическия анализ

Дадена е функцията f, която е непрекъсната в интервала от a до b. Нека да онагледим тази функция. Това е оста у. А това тук ще бъде моята ос t. Ще запазя х за малко по-късно. Ще означа тази ос с t. Нека това ето тук да е графиката на у равно на f от t. Функцията е непрекъсната в интервала от a до b. Тази стойност е t равно на а. Тази стойност е t равно на b. Функцията е непрекъсната в целия този интервал. Сега да дефинираме функцията главно F от х. Ще го запиша със синьо. Дадено е главно F от х равно на определен интеграл от f(t), от а като долна граница, до x, интеграл от f от t, dt. х принадлежи на интервала [a;b] – a по-малко или равно на х, и х по-малко или равно на b. Това е просто начин да означим, че х се намира в този интервал ето тук. Когато видиш този израз, може да кажеш, че определеният интеграл има връзка с диференциране, примитивна функция и всичко останало. Но това все още не го знаем. Знаем само, че този израз, е равен на площта под кривата F, между а и х. Нека изберем х да е ето тук. Тогава F от х е тази площ ето тук. Това е всичко, което знаем за функцията. Все още не знаем, че има връзка с примитивна функция. Именно това ще се опитаме да докажем в настоящия урок. За по-интересно нека намерим производната на F. За да го направим, ще използваме определението за производни и да видим какво ще получим, когато използваме определението за производни. Определението гласи, че F' от х е равно на границата от, когато ∆х клони към 0, границата на главно F от (х + ∆х) минус F от х, като всичко това е върху ∆х. Това е определението за производна. На какво е равен този израз? Нека го запиша с помощта на тези интеграли тук горе. Това ще бъде равно на границата, когато ∆x клони към 0, на какво е равно F от (х + ∆х)? Когато поставим х ето тук, ще получим определен интеграл от а до (х + ∆х), от f от t, dt. От тази граница ще извадим ето този член, т.е. F от х, който вече записахме като определен интеграл от f от t, dt, от а до х. И всичко това е върху ∆х. Какво представлява този израз? Припомни си, че все още не знаем нищо за определените интеграли, или какво да правим с нещо, което има примитивна функция и т.н. Знаем само, че това е друг начин да кажем, че това е площта под кривата f между а и (х + ∆х). Това е цялата тази площ ето тук. Това е ето тази част. Вече знаем на какво е равен ето този израз в синьо. Нека го оградя със същия син цвят. Този интеграл в синьо ето тук, е равен на цялата тази площ тук. Вече защриховахме тази площ. Равно е на цялата тази площ ето тук. Ако вземем цялата тази зелена площ, която е от а до х плюс ∆х, и от нея извадим синята площ – което е точно това, което правим в числителя – то какво ще ни остане? Ще ни остане следното. Какъв цвят все още не съм използвал? Може би ще използвам ето този розов цвят. О, този вече съм използвал. Ще използвам ето този лилав цвят. Ще ни остане тази площ ето тук. Как по друг начин да го запишем? Друг начин да представим тази площ тук, е с определен интеграл от f от t, dt, между х и (х + ∆х). Може да преобразуваме целия този израз, т.е. производната от главно F от х – това е главно F' от х – можем да запишем, че е равно на границата от 1/∆х по числителя за ∆х клонящо към 0 – ние вече намерихме числителя – зелената площ минус синята площ, е просто лилавата площ. Друг начин да представим тази площ е с този израз ето тук. 1 върху ∆x по определен интеграл от f от t, dt, от х до х плюс ∆х, Този израз е интересен. Може би ти изглежда познат от теоремата за крайните нараствания при определените интеграли. Теоремата за крайните нараствания при определените интеграли гласи така. Теоремата за крайните нараствания при определените интеграли гласи, че съществува такова число "с" в интервала – ще го запиша по следния начин – където "а" е по-малко от или равно на "с"... Добре, нека да го изясня. Интервалът, който ни интересува, се намира между х и ∆х, където х е по-малко или равно на "с", което е по-малко или равно на (х + ∆х), така че стойността на функцията в точка "с" – ще означа къде е "с" – т.е. има едно място с ето тук и изчисляваме стойността на функцията в "с", така че това ето тук е f от c. Искаме да изчислим функцията в точка с, което по същество е височината на ето тази отсечка, и я умножаваме по основата, т.е. по ето този интервал, който е просто ∆х, защото х плюс ∆х минус х е само ∆х. Ако просто умножим височината по основата, то това ще бъде равно на площта под кривата. Тоест това е определеният интеграл от f от t, dt в интервала от х до (х + ∆х). Това ни казва теоремата за крайните нараствания. Ако f е непрекъсната, то съществува стойност "с" в интервала между двете крайни точки, където стойността на функцията за с по същество е средната стойност на височината. И ако намерим средната стойност на функцията и я умножим по основата, то ще получим площта под кривата. Друг начин да разглеждаме това, можем да кажем, че в този интервал съществува "с" такова, че f от "c" е равно на 1 върху ∆х – просто разделям двете страни на ∆х – умножено по интеграл от f от t, dt от х до (х +∆х). Това често се приема като средна стойност на функцията в дадения интервал. Защо се получава така? Ето тази част тук ни дава площта, а след това разделяме площта на основата, и получаваме средната стойност на височината. Друг начин да го формулираме, е да вземем височината ето тук, да я умножим по основата, и получаваме правоъгълник, който има абсолютно същата площ като площта под кривата. Това е полезно, защото това е точно каквото получихме за производната f' от х. Следователно трябва да съществува такова f от "c", което е равно на ето този израз. Може да използваме и границата. Нека препиша всичко това сега с нов цвят. Съществува стойност "с" в интервала х до (х + ∆х), където F' от х – което знаем, че е равно на ето това – можем сега да заявим, че е равно на границата, когато ∆х клони към 0 – и вместо да записваме това, знаем, че има такова с, което отговаря на това условие – от f от c. Почти сме на финала. Просто следва да намерим каква е границата на f от с, когато ∆х клони към 0. Основното, което трябва да осъзнаем, е тази част ето тук. Знаем, че с винаги се намира между стойностите х и (х + ∆х). Интуитивно можеш да заявиш, че, когато ∆х клони към 0, то тази зелена линия ето тук се приближава все повече и повече наляво, т.е. към ето тази синя линия, а с следва да се намира между тях, така че с клони към х. Интуитивно се досещаме, че с клони към х, когато ∆х клони към 0. Друг начин да го изкажем е, че f от c клони към f от x, когато ∆х клони към 0. Тогава логически можем да заключим, че този израз ще бъде равен на f от х. Може би сега си мислиш, че това следва логически, но все пак в математиката работим с доказателства. Нека със сигурност знаем, че х клони към `с. Недей просто да правиш тази малка диаграма, която показва, че с се приближава все по-близо и по-близо до х. Ако искаш да го докажеш, то можеш просто да прибегнеш до теоремата за двамата полицаи. За да използваш теоремата за двамата полицаи, то следва да приемеш, че с е функция на ∆х. И то наистина е. В зависимост от стойността на ∆х с ще се намира повече наляво, или може би надясно. Тогава мога просто да преобразувам този израз – х по-малко или равно на с, като функция на ∆х, е по-малко или равно на х плюс ∆х. Сега вече виждаш, че с винаги е затворено между х и (х + ∆х). Каква обаче е границата от х, когато ∆х клони към 0? х не зависи от ∆х по никакъв начин, така че тази граница просто ще бъде равна на х. Каква е границата на (х + ∆х), когато ∆х клони към 0? Когато ∆х клони към 0, то тази граница просто ще бъде равна на х. Границата клони към х, когато ∆х клони към 0, но е по-малка от функцията, И ако този израз клони към х, когато ∆х клони към 0 – но е винаги по-голяма от тази стойност – то от теоремата за двамата полицаи знаем, че границата на с като функция на ∆х, когато ∆х клони към 0, също ще бъде равна на х. Следва да клони към същото като тази и тази стойност. Затворена е между тях. Малко се отклонихме към теоремата за двамата полицаи, за да докажем строго, че се получава именно този резултат. Когато ∆х клони към 0, то с клони към х. Ако с клони към х, то f от c клони към f от х. И действително направихме доказателството. F е непрекъсната функция. Дефинирахме главно F по този начин и успяхме да използваме просто определението за производна, за да установим, че производната от главно F(х), е равно на f от x. И още веднъж – защо това е толкова важно? То гласи, че една непрекъсната функция f – това е, което приемаме – приемаме, че f е непрекъсната в интервала – то съществува някаква функция – която може просто да дефинираме като площта под кривата, заключена между някакви крайни точки, тоест между началото на интервала и някаква стойност х – ако дефинираме функцията така, то производната на тази функция, ще бъде равна на тази непрекъсната функция. Друг начин да го изразим е, че винаги съществува примитивна функция, т.е. всяка непрекъсната функция притежава примитивна функция. Тук има няколко хубави неща. Всяка непрекъсната функция притежава примитивна функция. Това е функцията F от x. Ето затова се нарича фундаментална теорема на анализа. Тя дава връзката между тези две идеи. Имаме диференциално смятане, имаме идеята за производна. А след това в интегралното смятане имаме понятието интеграл. Преди това доказателство разглеждахме интеграла просто като площта под кривата. Беше само начин да кажем, че това е площта под кривата. Сега обаче успяхме да направим връзка между интеграл и производна. И по-точно връзка между интеграл и примитивна функция. Свързва всичко в анализа по един много силен начин и сега, след като вече ни е познато, можем да кажем, че това е очевидно, но преди не беше очевидно. Спомни си, че винаги разглеждахме интегралите като примитивни функции. Това обаче не беше много ясно. Ако разглеждаш един интеграл само като площ, то ще трябва да преминаваш през целия този процес. Обаче това не е така! Интегралът е свързан с процеса на намиране на производна.