Суми на Риман със знак сигма: задача с повишена трудност

Графиката на функцията F е дадена по-долу. Общо 24 десни правоъгълника са построени. Какво имат предвид с "десни правоъгълници"? Определено тук има 24 правоъгълника. Можеш да ги преброиш. Десни правоъгълници означава, че за всеки от тези правоъгълници височината на правоъгълника е дефинирана чрез стойността на функцията от дясната страна на правоъгълника. Можеш да видиш, че това е дясната страна на първия правоъгълник и ако вземеш стойността на функцията в тази точка, то това е височината на правоъгълника. Един "ляв правоъгълник" дефинира височината на правоъгълника чрез стойността на функцията от лявата страна на правоъгълника. Височината на един ляв правоъгълник, например височината на първата фигура, ще изглежда ето така. Ето това е, което имат предвид с термина десен правоъгълник. Дотук добре. Имаме осем броя в синьо. Виждаме го. 16 са в червено. Добре! Всички 24 правоъгълника имат еднаква широчина. Кои от долните твърдения са верни? Дават ни три израза, записани с означението сигма. Дадено е, че ето този първият, е сумата от лицата на сините правоъгълници. Този представлява сумата от лицата на червените правоъгълници. А това е сумата от лицата на всички правоъгълници. Насърчавам те да спреш видеото и да се опиташ самостоятелно да определиш кои от твърденията са верни. Добре, предполагам, че вече е направено това. Нека разгледаме всеки от изразите и да видим дали имат смисъл. Първият е сумата от площите на сините правоъгълници. Знаем, че имаме един, два, три, четири, пет, шест, седем, осем сини правоъгълника, и сумираме от 1 до 8. Изглежда, че сумираме осем неща ето тук. Това е едно, две, три, четири, пет, шест, седем, осем. Тогава това ето тук изглежда добре. И след това намираме f от нещо, умножено по 1/2. Дори все още не разглеждаме графиката. Изглежда, че това ще бъде височината на всеки от правоъгълниците. Припомни си, че вземаме стойността на функцията от дясната страна за височина, а ето това ще бъде широчината. Вярно ли е, че широчината на всеки от тези правоъгълници е 1/2? Пълното разстояние между x равно на минус 5 и x равно на 7, е равно на 12. 5 плюс 7 е равно на 12. Разделяме го на 24 правоъгълника с еднаква широчина. Ако разделиш 12 на 24, то всеки един правоъгълник ще има широчина от 1/2. Отбелязваме, че 1/2 е вярно. Нека сега разгледаме тази част. Нека помислим върху f от минус 5 плюс i/2. Нека да видим. Когато i е равно на 1, ще вземем 1/2 по f от минус 5 плюс 1/2. Нали така? i е равно на 1. Тогава минус 5 плюс 1/2 ще ни отведе до тази точка ето тук. f от това ще бъде равно на ето това разстояние, т.е. височината ето тук. Това съвпада с твърдението, че това са десни правоъгълници. Това определено съвпада с този случай. Когато i е равно на 1, определено намираме ето това лице тук. Когато i е равно на 2 ще се получи минус 5 плюс 2/2. 2/2 означава, че ще прибавим 1, т.е. ще стигнем до тази точка. Отново имаме 1/2, което е ето това тук. Това е широчината, умножена по f от минус 5 плюс 2/2, което е равно на f от минус 4, което е тази височина ето тук. И отново, това е ето тази площ. Продължаваме да прилагаме формулата. Всеки път, когато изчисляваме функцията... За първата фигура имаме минус 5 плюс 1/2, а след това с всяко нарастване прибавяме 1/2 към дясната страна. Това е един начин да го разглеждаш. Това всъщност има смисъл. Първата формула съвпада с лицето на първите осем фигури, така че това действително е вярно. Това е сума от лицата на сините правоъгълници. Нека сега разгледаме тази формула тук. Сумата от лицата на червените правоъгълници. На пръв поглед изглежда много интересна. Търсим сумата на 16 неща и действително имаме 16 неща ето тук. Имаме широчината на всяко от тези 16 неща, или за всяко от тези неща искаме да намерим лицето. Действително е вярно, че всеки от тези правоъгълници има широчина 1/2. Какво обаче се случва, когато търсим f от минус 1 плюс i/2? Започваме ето тук, в точката минус 1. Минус 1 плюс i/2. Когато i е равно на 1 се намираме в тази точка ето тук, а f от това ще бъде... Може да кажеш "Хей, няма ли това да бъде височината на този правоъгълник? Когато i е равно на 2, няма ли да бъде това височината на този правоъгълник? А когато i е равно на 3, няма ли това да бъде височината на този правоъгълник?". Тук е мястото, къде следва да сме много внимателни. Ще имат еднаква абсолютна стойност, но всички тези ще бъдат отрицателни стойности. Всички тези стойности ще бъдат отрицателни, защото се намираме след ето тази стойност на функцията. Изглежда, че стойностите ва функцията от минус 1/2 през цялото разстояние до 7 всъщност са отрицателни. Един начин да мислиш за това, е, че, ако имаш отрицателна височина, то когато умножаваш тези две числа, ще получиш отрицателно число. Тогава целият този израз ще бъде отрицателно число, и всъщност ще получиш отрицателна сума от лицата на червените правоъгълници. Това обаче не е същото като сумата от лицата на червените правоъгълници. Поне в традиционния смисъл "лице" означава следното. Ако го разглеждаш като каква квадратура килим ще ти трябва, за да покриеш този участък, то следва това да бъде положителна стойност. Този израз обаче ще бъде отрицателната версия на това. Следователно това не е сумата от лицата на червените правоъгълници. Това е отрицателната сума от лицата на червените правоъгълници. Следователно изключваме този израз. След това имаме този последен избор. Този израз е сумата от лицата на всички правоъгълници. За този израз i е в интервала от 1 до 24. Следователно съдържа 24 неща. Започва ето тук и просто продължава така. Ако определим тук i да е равно от 1 до 8, то този израз ще бъде равен на първия избор. Но тук отново възниква проблемът, че веднъж, когато стигнем или преминем стойността i равно на 9, този израз тук ще стане отрицателен и ще ни даде отрицателната площ. Следователно ще се получи просто разликата между тази положителна площ тук и тази отрицателна площ ето тук. Тогава този израз не е сумата от лицата на всички правоъгълници. Всъщност ще се получи тази площ минус тази площ ето тук.