Означение за сума (статия) | Интеграли

Записът на сума чрез главната гръцка буква сигма (Сигма запис) ни позволява да записваме дълги суми с един кратък израз.

Разшифроване на значението на знака за сума

Това е символът сигма:

\sum

. Той ни казва, че сумираме нещо.

Да започнем с прост пример:

\begin{aligned} Завършваме с n = 3 \\ (включително) \\ ↘ \\ \sum_{n = 1}^{3} & 2 n - 1 \\ ↖ \\ ↗ & Израз за всеки \\ Започваме с n = 1 & член на сумата \end{aligned}

Това е сумиране за израза

2 n - 1

за целочислените стойности на

n

от

1

до

3

\begin{aligned} \sum_{n = 1}^{3} 2 n - 1 \\ = \underset{n = 1}{\underset{⏟}{[2 (1) - 1]}} + \underset{n = 2}{\underset{⏟}{[2 (2) - 1]}} + \underset{n = 3}{\underset{⏟}{[2 (3) - 1]}} \\ = 1 + 3 + 5 \\ = 9 \end{aligned}

Забележи как заместихме

n = 1

n = 2

n = 3

2 n - 1

и събрахме получените членове.

n

е нашият сумационен индекс. Когато пресмятаме сума, заместваме с различни стойности на индекса.

Задача 1

\sum_{n = 1}^{4} n^{2} = ?

Сумата може да започне и да свърши при произволни стойности на

n

. Например тази сума приема целочислени стойности на

n

от

4

до

6

\begin{aligned} \sum_{n = 4}^{6} n - 1 \\ = \underset{n = 4}{\underset{⏟}{(4 - 1)}} + \underset{n = 5}{\underset{⏟}{(5 - 1)}} + \underset{n = 6}{\underset{⏟}{(6 - 1)}} \\ = 3 + 4 + 5 \\ = 12 \end{aligned}

Можем да използваме каквато буква искаме за индекс. Например в този израз индексът е

i

\begin{aligned} \sum_{i = 0}^{2} 3 i - 5 \\ = \underset{i = 0}{\underset{⏟}{[3 (0) - 5]}} + \underset{i = 1}{\underset{⏟}{[3 (1) - 5]}} + \underset{i = 2}{\underset{⏟}{[3 (2) - 5]}} \\ = - 5 + (- 2) + 1 \\ = - 6 \end{aligned}

Задача 2

\sum_{k = 3}^{5} k (k + 1) =

Задача 3

Да разгледаме сумата

4 + 25 + 64 + 121

Кой израз е равен на сумата по-горе?

Някои изрази за суми имат и променливи, различни от индекса. Да разгледаме тази сума:

\sum_{n = 1}^{4} \frac{k}{n + 1}

Забележи, че индексът ни е

n

, а не

k

. Това означава, че заместваме

n

със стойностите, a

k

си остава неизвестно:

\begin{aligned} \sum_{n = 1}^{3} \frac{k}{n + 1} \\ = \frac{k}{(1) + 1} + \frac{k}{(2) + 1} + \frac{k}{(3) + 1} \\ = \frac{k}{2} + \frac{k}{3} + \frac{k}{4} \end{aligned}

Ключов момент: Преди да пресметнеш сума, записана със знака Сигма за сума, идентифицирай сумационния индекс и замествай само него. Всички други неизвестни трябва да останат такива, каквито са.

Задача 4

\sum_{m = 1}^{4} 8 k - 6 m = ?

Искаш да се упражняваш още? Опитай това упражнение.

Курс: Интегрално смятане > Раздел 1

Означение за сума

Разшифроване на значението на знака за сума

Искаш ли да се присъединиш към разговора?