Решен пример: Интегрален критерий за сходимост

Сега ще дам, ако мога да се изразя така, по-формално определение на интегралния критерий на Коши. То ни казва, че ако допуснем, че имаме функцията f(x), която е положителна, положителна, непрекъсната и намаляваща в някакъв интервал, започващ от k, включително k, и до безкрайност. Тогава можем да твърдим две неща. Можем да кажем, че ако несобственият интеграл от k до безкрайност от f(x)dx е сходящ, тогава сумата, безкрайният ред от f(n) за n от k до безкрайност, безкрайният ред също е сходящ. Точно такъв случай видяхме, когато разглеждахме 1/n^2, но ще го видим след секунда. Второто ни твърдение, което можем да направим, или вторият извод, който можем да изведем от интегралния критерий на Коши, е когато имаме обратния случай. Ако интегралът от k до безкрайност, ако несобственият интеграл от f(x)dx е разходящ, тогава това важи и за съответния безкраен ред. Тогава този безкраен ред тук също ще бъде разходящ. И както споменах вече, в последното видео ние видяхме това в примера с f(x) = 1/x^2. Видяхме, че понеже интеграл от 1 до безкрайност от 1/x^2 dx е сходящ, всъщност е равен на 1. Поради това можем да кажем, че сумата от n = 1 до безкрайност от 1/n^2, също е сходяща. Сега ще видим обратния пример. Знаем, че този интеграл... Ще напиша интеграла. Да започнем с този интеграл. От 1 до безкрайност но f(x) няма да е равно на на 1/х^2, а нека да кажем, че f(x) = 1/x. Ще го напиша. Започвам с f(x) = 1/х. Определено отговаря на изискването да е положителна, и можем да кажем, че я разглеждаме в интервала от 1 до безкрайност. Така че отговаря на първото изискване. В този интервал 1/х е положителна, непрекъсната и намаляваща. Когато х нараства, f(х) намалява. Значи можем да използваме изследване с интеграли. Да видим какъв е несобственият интеграл от 1 до безкрайност от това тук. Ако вземем от 1 до безкрайност от (1/х) dx, това е равно на... Можем да запишем това като границата, когато t клони към безкрайност от определен интеграл от 1 до t, от (1/х)dx, което е равно на границата, когато t клони към безкрайност, намираме примитивната функция, която е натурален логаритъм от х от 1 до t. От 1 до t, това е... Това е абсолютната стойност на х, но тук имаме положителни стойности на х, така че е просто натурален логаритъм от х, което е равно на границата, когато t клони към безкрайност, от натурален логаритъм от t, или даже мога да кажа натурален логаритъм от абсолютната стойност на t, което ще бъде равно на натурален логаритъм от t, защото имаме само положителни t, минус натурален логаритъм от 1. Минус натурален логаритъм от абсолютната стойност от 1. Натурален логаритъм от 1 е нула, така че остава натурален логаритъм от t. Границата от това, когато клони към безкрайност. Но когато това клони към безкрайност, просто няма граница, тя е безкрайност. Това тук е разходящо. Значи и това тук е разходящо. Това е разходящо. Понеже това е разходящо, можем да кажем, че от прилагането на интегралния критерий... Повтарям пак, че функцията ни в този интервал е положителна, непрекъсната, намаляваща. Този несобствен интеграл ето тук е разходящ, а съгласно второто твърдение от критерия на Коши можем да кажем, че – не сме го доказали прецизно, но се надявам, че схвана логиката на доказателството в предишното видео, че интегралът... че безкрайният ред, сумата от 1/n за n = 1 до безкрайност което представлява хармоничен ред, че това също, това също е разходящ ред. Вече показахме, че хармоничните редове са разходящи с това елегантно доказателство на Орезм, вероятно не произнасям правилно името, (Никола Орезм, френски математик) въпреки, че използвахме критерий за сравнение, а също така използвахме и интегралния критерий на Коши, за да покажем, че този ред е разходящ. Да припомним още веднъж каква е същността на интегралния критерий на Коши. Ще начертая f(x) = 1/х. Графиката на f(х) = 1/х ще изглежда като... Влагам цялото си старание. Нека това да е 1, 2, 3, и това са 1, 2... Да видим, когато х = 1, f(х) е равна на 1, когато х = 2, тогава f(х) е 1/2 или 1/3, ако това е 1/2, тогава две ще е тук. Ще изглежда ето така. Това е за f(х) = 1/х. Отново виждаме, че в този интервал, който ни интересува, от 1 до безкрайност, определено функцията е положителна, непрекъсната и намаляваща. Ако разгледаме тази сума тук, можем да разглеждаме тази сума като... Ще го напиша. Значи сумата... Сумата от n = 1 до безкрайност от 1/n е равна на 1 + 1/2 + 1/3... и, разбира се, това продължава и продължава. В този случай, понеже искаме да покажем, че е разходяща, можем да кажем: "Това приближение е надценяване на тази площ тук." Искам да поясня. Имаме тази площ. Имаме тази площ в зелено, която съответства на несобствения интеграл. Това тук е несобствен интеграл от 1 до безкрайност от (1/x)dx. Можем да го разглеждаме като надценяване на тази площ. Значи този пръв... Ето това тук, можеш да кажеш, че това е височина 1 по широчина 1, така че този блок тук, неговата площ е равна на 1. После това тук, 1/2, можем да го разглеждаме като площта на следващия блок. Можем да го разглеждаме като лява Риманова сума, това е един начин да си го представим. Това е равно на 1/2... Значи изтеглена наляво Риманова сума. Това е равно на 1/2, после 1/3 ще бъде ето това. Забележи, че всички те... Действителната площ, която ни интересува, несобственият интеграл, е по-малка от всички тези блокове. Това е надценяване, това е по-голямо от това, но ние вече видяхме, че няма граница към безкрайност. Това е разходящо. Ако това е по-голямо от това, а това е разходящо, това клони към безкрайност, следователно и това клони към безкрайност. Ето от тук започва идеята за интегралния критерий на Коши.