Решен пример: изчисляване на eˣ, използвайки граница на грешката по Лагранж

При апроксимация на функцията е на степен 1,45 с помощта на ред на Тейлър в околността на точката х = 2, коя е най-ниската степен на полинома, която гарантира, че грешката ще бъде по-малка от 0,001? Принципно, когато видиш нещо такова, когато апроксимираме функция с ред на Тейлър около някаква стойност, и искаме да знаем колко члена на полинома са ни нужни, каква степен ни трябва, за да има дадена граница на грешката? Това веднага ни подсказва, че ще използваме границата на грешката по Лагранж или теоремата на Тейлър за остатъка. Само да припомня, че това е преговор на теоремата на Тейлър за остатъка, която казва, че абсолютната стойност на остатъка за полином на Тейлър от n-та степен, ще бъде по-малко от това нещо ето тук. n е степента на полинома, която търсим, значи това е n. х е стойността на х, за която изчисляваме тази грешка, в този случай трябва да е по-малко от 1,45. с е точката, около която е центриран полинома на Тейлър. Какво да кажем за нашето М? М е горна граница на абсолютната стойност на (n +1)-вата производна на функцията ни. Това може да изглежда твърде общо, но когато го разгледаме подробно при този пример, ще стане по-конкретно. Конкретно за този пример искаме да изчислим функцията e^x... Мога да напиша f(х)... ще го напиша ето така. f(х) = e^х, и искаме да изчислим f за 1,45. Само да определим границата тук, за да определим колко е М, само да припомня, че първата производна на това ще бъде e^x, втората производна ще е e^х, n-тата производна ще е е^х. (n +1)-вата производна ще е e^х. Значи (n +1)-вата производна ще бъде е^х, което е доста удобно. Този вид задачи са много, много трудни, тъй като е трудно да се ограничи (n +1)-вата производна. Сега знаем, че е^х, можем даже да кажем, че абсолютната стойност на това ще бъде положителна, ще бъде по-малко или равно на... да кажем, че това е по-малко или равно на e^2, когато 0 < х, е по-малко или равно на 2. е^х е ограничена в цялото това дефиниционно множество. Ако х клони към безкрайност, е^х също клони към безкрайност. Но тук има интервал. Съставихме интервал, който съдържа х, което ни интересува. Спомни си, че х, което ни интересува, е 1,45. Този интервал също така съдържа околността, около която е центирарана функцията. Функцията е центрирана около 2. Знаем, че е ограничена между е^2, така че можем да кажем, че можем да използваме е^2 като М. Можем да използваме е^2 като М. Можем да поставим тази граница. Като направим това, сега можем направо да намерим границата на грешката по Лагранж. Можем да кажем, че остатъкът от нашия полином на Тейлър от n-та степен, можем да го решим за n. Искаме да намерим за кое n получаваме подходяща граница, изчислена за 1,45. Когато х = 1,45 това ще бъде по-малко от или равно на абсолютната стойност... нашето М е на квадрат, е^2 върху (n +1) факториел, по 1,45, това е х, което ни интересува, за което изчисляваме грешката, търсим граница на грешката, минус стойността, около която сме центрирани, минус 2^(n + 1). Става 1,45 минус 2, това е минус 0,55. Ще го запиша така. Това е –0,55 на степен (n +1). Искаме да намерим за кое n всичко това тук ще бъде по-малко от или равно на 0,001. Да направим малко алгебрични преобразувания. Този член е положителен, този ще е положителен. Това тук, или тази част от него, това не е отделен член, но e^2 ще бъде положително, (n + 1) факториел е положително, –0,55 на някаква степен, това ще си сменя знака от положителен на отрицателен и обратно. Но понеже взимаме абсолютната стойност, можем да го напишем така. Можем да напишем е^2, понеже взимаме абсолютната стойност на 0,55, на степен (n + 1) върху (n + 1) факториел, трябва да е по-малко от 0,001. И тъй като искаме да намерим n, да разделим двете страни на e^2. Можем да напишем, че... да намерим n, когато 0,55 на степен (n + 1) върху (n + 1) факториел е по-малко от 0,001, върху е^2. Сега, за да пресметнем това, трябва да използваме калкулатор. От тук нататък ще пробваме все по-големи и по-големи n, докато не намерим стойността на n, за която това е вярно. Искаме да намерим възможно най-малкото n, за което това неравенство е изпълнено. Да си вземем калкулаторите, за да го сметнем. Най-напред искам да намеря колко е 1/1000, делено на е^2. Само да се уверя, че е нулиран. Да вземем е^2, взимам неговата реципрочна стойност, после го умножавам по 1/1000. Значи по 0,001 е равно на... това е около, да кажем, има три нули, значи това е 10/1000, и после 35. Значи три нули, закръгляваме на 136. Това трябва да е по-малко от 1, 2, 3 нули, после да кажем 136. Ако намерим n, за което е по-малко от това, тогава всичко е решено. Да кажем, че 135 искаме да е по-малко от тази стойност, тогава всичко е наред. Това е малко повече от 135, но ако намерим n, за което това е по-малко от това, тогава всичко е наред. Ще напиша това 0,55 на степен (n +1) върху (n + 1) факториел. Да проверим някои стойности на n. Ще махна калкулатора. Да видим, това вярно ли го преписах? Да, 0,000135. Ако получим стойност под тази, тогава сме решили задачата, защото това е даже по-малко от това. Добре, да го направим. Да видим, когато това е равно на ... не знам, да кажем за n = 2. Можем да започнем с n = 1, n = 2, n = 3, но да започнем от n = 2 е добре, а после можем да проверим и n = 1. Ако n = 2 не става, тогава ще отидем към n = 3 и n = 4. Да започнем всъщност с n = 3. Когато n = 3, това ще бъде 0,55 на четвърта степен, делено на 4! Да го сметнем. 0,55 на четвърта степен е равно на това, делено на 4 факториел. Четири факториел е 24. Това изобщо не е достатъчно малко. Да проверим с n = 4. Ако n = 4, тогава това е на пета степен, делено на 5 факториел. Значи 0,55 на пета степен е равно на това, и после делено на 5!, което е 120. Делено на 120 е равно на това. Почти се получи с n = 4. Вероятно с n = 5 ще се получи идеално. Значи за n = 5, само да изчистя това. При n = 5 повдигаме на шеста степен и делим на 6! Само да припомня, че 6! е равно на 720. Всъщност можех да го направя наум, но няма значение. Да видим. 0,55 на степен... спомни си, че n е 5, значи повдигаме на шеста степен. После делим на 720, и е равно на... това число със сигурност е по-малко от това тук. Получаваме четири нули след запетаята преди тази тройка, тук имаме само три нули. Когато n е равно на 5, това е достатъчно малко, остатъкът е достатъчно малък, това е под тази стойност тук. И така, коя е най-ниската степен на полинома, за която грешката е по-малка от 1/1000? Отговорът е за n = 5 грешката определено е по-малка от това.