Решен пример: функцията косинус от степенен ред

Даден ни е безкраен ред за n от 0 до безкрайност сумата от (–1)^n по х^6n върху (2n)! В това видео искам да изчислим този ред за х равно на корен трети от π/2. Насърчавам те да спреш видеото и да опиташ да го направиш самостоятелно. Ще ти дам подсказка. Ключовото тук е да разбереш на коя функция съответства този степенен ред и после да използваш тази функция, за да сметнеш това. Тук има и друга подсказка – това мистериозно или подозрително изглеждащо число π/2, изглежда като нещо, за което бих използвал тригонометрична функция за изчисляването му. Това може би е по-лесно. Ще те оставя да опиташ. Предполагам, че направи опит, а сега да се заемем заедно. Във всяка задача от този вид обикновено развивам степенния ред, за да добия представа как изглежда той. Ако трябва да развием този ред, това ще бъде равно на – когато n е равно на 0, това е 1, всъщност всички тези са единици, значи това е просто едно. Когато n е равно на 1, това е –1, х на шеста степен, върху 2 факториел. Когато n е равно на 2, това ще бъде положително. –1 на квадрат е +1, по х на 12-та степен, върху 4 факториел. Ще направя още едно: когато х е равно на 3, това става –х^18, върху 6! И можем да продължим така до безкрайност. Сега, на пръв поглед, не знам функция, особено тригонометрична функция, както ни подсказва това π/2, че може би тук имаме тригонометрична функция. Нищо не ми хрумва още, но това ми изглежда много познато. Това изглежда много подобно на степенните редове, или на редовете на Маклорен за косинус от х. Което сме виждали няколко пъти вече. Само да си припомним какви са те, и ако това изглежда непознато, в предишното видео, в което разглеждахме ред на Маклорен за косинус от х, можеш да намериш подробно как го получаваме. Редът на Маклорен за косинус от х е равен на... Ще запиша само няколко члена, ще запиша приблизително равно на 1 – х^2/2! + х^4/4! – х^6/6! и сега вероятно вече виждаш приликите. Първият член е еднакъв, знаците се редуват плюс, минус, плюс, минус, 2 факториел, 4 факториел, 6 факториел. Разликата е в степенните показатели на х. Това е х^2, а това е x^6. Тук имаме x^4, а тук x^12. Тук имаме x^6, а тук x^18. Добре, ако ... Тук можеш да помислиш с какво можем да заместим х? Защото всичко, което променя... ако взема косинус от... ако заместя х с "+b", навсякъде, където има х, ако го заместя с +b... Можем ли да сложим тук х на степен, така че да получим ето това? Това х^6 е равно на (х^3)^2. Това е х^3 на квадрат. Това х^12 е равно на (х^3)^4. Това тук е равно на (х^3)^6. Ако заместим всички хиксове с х^3, ще получим този степенен ред. Как да го направим? Можем да кажем, че cos(х^3)... всъщност ще го направя с различен цвят. Значи косинус... това не е различен цвят. Косинус от х^3 е равно на... и пак, навсякъде, където видим х, го заместваме с х^3. Значи това е –1, и всъщност, ще сложа в скоби, 2! Исках да го направим в зелено, ще направя всичко това в зелено. Значи ще бъде равно на: 1 минус нещо в скоби на квадрат върху 2!, плюс скоби на четвърта степен върху 4! минус, скоби, на шеста степен, върху 6! Пак ще се върна на този пепелно розов цвят. И понеже имам косинус от х на трета степен, това става х^3 на квадрат. Това ще стане x^3 на четвърта степен. Това е х^3 на шеста степен. Това е точно това, което имам тук. Това е степенен ред за косинус от x^3. Ще изчислим това, когато х е равно на корен трети от π/2, което е същото като да изчислим това, когато х е равно на корен трети от π/2. Ще го запиша, защото това е интересно. Това е, само ще го преработя, за n от нула до безкрайност от (–1)^n по х^6n върху 2n! Това е равно на... това е представянето като степенен ред на функцията cos(х^3). И ако искам да изчисля това за х равно на корен трети от π/2, трябва само да сметнем това, когато х е равно на корен трети от π/2. Това става подозрително гладко, защото ако повдигнем на трета корен трети, се получават хубави неща. Значи косинус от корен трети от π/2 на трета степен, това е същото като косинус от π/2, което е равно на нула. И сме готови.