Частични суми: стойност на член от частична сума

Дадено ни е, че n-ата частична сума на числов ред от n = 1 до безкрайност Sn е равна на следния израз. Сумата на първите n члена е равна на (n^2 + 1)/ (n + 1). Трябва да намерим стойността на седмия член на редицата. Както винаги те насърчавам да спреш видеото и да опиташ да го направиш самостоятелно, след което ще го решим заедно. Един начин да разсъждаваме е: а7... Да видим каква е връзката му с различните суми. Ако имаме а1 + а2... ще го напиша цялото, а3 + а4 + а5 + а6 + а7. Ако искаме да съберем всички тези членове, сумата ще бъде S7. За да намерим а7, можем да извадим от това, можем да извадим сумата на първите шест члена. Можем да извадим S6. Каква е стратегията ми? Знам формулата за сумата на първите n члена. И мога да я използвам, мога да намеря сумата на първите 7 члена. Това е сумата от тези членове. После мога да използвам същата формула, за да намеря сумата на първите шест члена, и разликата между двете е равна на седмия член а7. Друг начин да кажем това, което току-що казах, е, че а7 е равно на сумата от първите седем члена минус сумата от първите шест члена. Ако решаваш задачата самостоятелно, не е нужно да пишеш всичко това, просто го запиши така, аз просто исках да покажа логиката на този израз. И колко ще бъде това? S7, сумата от първите седем члена, навсякъде, където има n, ще го заместим със 7. Това е равно на 7^2 + 1, върху 7 + 1, от което ще извадим S6, сумата на първите шест члена. Това е 6^2 + 1 върху 6 + 1. И сега имаме малко аритметика. Това е равно на 7^2 + 1, което е 49 + 1, равно на 50 върху 8. Това е 6^2 + 1, това е 36 + 1, което е 37, върху 7. Да намерим общ знаменател между 8 и 7. Това е 56. Значи това е нещо върху 56, минус нещо върху 56. За да отидем от 8 до 56, умножаваме по 7, значи умножавам числителя по 7. 50 по 7 е 350. Във втората дроб умножаваме знаменателя по 8, получаваме 56, и после умножавам 37 по 8. Да видим, 37 по 8 е равно на 240 плюс 56, което е 296. Това ще бъде равно на... Имаме знаменател 56, 350 – 296 е равно на 54. Значи 54/56. Ако искаме малко да го съкратим, да го представим в по-опростен вид, ще препишем същата стойност. Това дали не е 27/28? Да видим, толкова ли е? Да, това е максимално опростено. Това е стойността на а7, то е 27/28. Разликата между сумата от първите седем члена и сумата от първите шест члена.