Доказателство на критериите за сходимост за обобщен хармоничен ред

Може би можеш да разпознаеш, че написаното тук в жълто е общият вид на обобщен хармоничен ред. В това видео ще разсъждаваме при какви условия, за какви стойности на р, обобщените хармонични редове са сходящи. За да бъде един ред обобщен хармоничен ред, по-условие р трябва да е по-голямо от нула. Тук съм направил визуализация, за да помислим как ще разберем дали този обобщен хармоничен ред е сходящ. Тук имаме графиката, тази крива ето тук, това е у = 1/х^р. Казваме чрез този общ вид, че понеже р е по-голямо от нула, знаем, че това ще бъде намаляваща функция като тази. Още веднъж повтарям, че това е у = 1/х^р. Тук съм защриховал предварително площта под тази крива, над положителната част от оста х, което е интегралът от 1 до безкрайност несобствен интеграл от 1/х^р, dx. Това е тази площ, която вече е оцветена, оцветена е в бяло и на двете графики. И това, което можем да видим, е, че тук има много близка връзка между сходимостта и разходимостта между тези обобщени хармонични редове и този интеграл ето тук. Когато погледнем лявата графика, този обобщен хармоничен ред може да се разглежда като горна Риманова апроксимация на тази площ. Какво означава това? Помисли за площта на първия правоъгълник. Широчината е 1, височината е равна на 1/1^р. Значи това е първият член на този обобщен хармоничен ред, като тази площ е равна на 1. Скалите по х и по у не са еднакви. Това тук, тази площ е 1/2^р. Тази площ е 1/3^р. Сумата от площите на тези правоъгълници, това е този обобщен хармоничен ред, и можеш да видиш, че всеки от тези правоъгълници покрива повече от реалната площ под кривата. Така знаем, че площта под кривата ще бъде по-голяма от нула, тогава този обобщен хармоничен ред ще е по-голям от този интеграл, по-голям от площта под тази крива. Но ако добавим 1 към площта под кривата, сега имаме не само бялата област, имаме и тази червена област ето тук, тогава нашият обобщен хармоничен ред ще бъде по-малко от това. Тъй като първият член на нашия обобщен хармоничен ред е равен на 1, а после всички други членове, можем да разглеждаме като по-ниската Риманова апроксимация на кривата. Можеш да видиш, че те са под кривата, и че остава малко място. Така че това ще бъде по-малко от този израз. Сега да помислим какво се случва, ако знаем, че това тук е разходящо, така че ако този несобствен интеграл е разходящ, той не покрива крайна площ, обобщеният хармоничен ред е по-голям от това, така че, ако това е разходящо, тогава и това е разходящо. По подобен начин, ако това е сходящо, същият интеграл ето тук, ако това е сходящо, ако клони към крайна стойност, тогава 1 плюс това също ще бъде сходящо, или обобщеният хармоничен ред също е сходящ. Трябва да клони към крайна стойност. Това, което показвам тук, е просто интегралният критерий за сходимост, когато изследваме за сходимост или за разходимост, но просто искам добре да го разбираш на концептуално ниво, а не просто сляпо да прилагаш интегралния критерий. Може да се направи и по обратния начин, ако обобщения хармоничен ред е сходящ, тогава със сигурност този интеграл е сходящ, и ако обобщеният хармоничен ред е разходящ, тогава със сигурност този израз ето тук ще бъде разходящ и интегралът е разходящ. Така че може да кажем, че обобщеният хармоничен ред е сходящ тогава, и само тогава, когато този интеграл ето тук е сходящ. За да разберем при какви условия, за каква стойност на р този обобщен хармоничен ред е сходящ, означава да разберем при какви условия този интеграл е сходящ. Ще се преместя малко надолу, за да имам място, да видим какво трябва да е изпълнено за този интеграл, за да бъде той сходящ. Ще го препиша. Имаме интеграл от 1 до безкрайност, несобствен интеграл от 1/х^р, dx. Това е равно на границата, ще използвам променливата M, тъй като вече сме използвали n, когато M клони към безкрайност, и това е интеграл от 1 до M, от 1 върху... всъщност ще напиша това като х^р. х на степен –р, dx. Ще се фокусирам върху това, и да запомним, че трябва да намерим границата, когато M клони към безкрайност, не искам да пиша това отново и отново. Да видим какво е, тук има няколко условия; знаем вече, че р е по-голямо от нула, но тук има два случая: единият случай е, когато р е равно на 1. Ако р е равно на 1, тогава това е просто интеграл от 1/х, и тогава това ще стане интеграл от ln(х) от 1 до M, значи това ще бъде натурален логаритъм от M, минус натурален логаритъм от 1. е на степен 0 е равно на 1, така че натурален логаритъм... ще го напиша... натурален логаритъм от 1 е просто нула, значи в този частен случай можем да кажем, че когато р е равно на 1, този интеграл от 1 до M е равен на натурален логаритъм от M. Сега да разгледаме случая, когато р не е равно на 1. Тук ще приложим наобратно правилото за производна от степен, което знаем от на диференцирането. Ще увеличим този степенен показател, ще стане х^(–р + 1), даже можем да запишем това като х^(1 – р), защото (1 – р) е равно на (– р + 1), и после делим на това, делим на (1 – р). Това е от 1 до M, и това е равно на, можем да запишем това като M на степен (1 – р), върху 1 минус р, минус 1 на степен (1 – р), върху (1 – р). Сега да определим тези граници, спомни си този интеграл, няма да намираме примитивната функция на определен интеграл тук, а ще намерим границата, когато M клони към безкрайност. Каква е границата, когато М клони към безкрайност, от натурален логаритъм от М? Ако М нараства неограничено до безкрайност, натурален логаритъм от М също ще клони към безкрайност. Когато Р е равно на 1, това не е сходящо, това е просто неограничено. Значи за р = 1 е разходящо. Знаем това. Сега да погледнем тук, да помислим за границата, когато М клони към безкрайност, границата на този израз ето тук. Единствената част, която е наистина повлияна от границата, е частта, която съдържа М, така че можем д а запишем това като... можем да изнесем това 1/(1 – р) от тук, можем да кажем, че 1/(1 – р) по границата, когато М клони към безкрайност, от М на степен (1 – р) и после отделно можем да извадим 1 на степен (1 – р), което за всеки степенен показател ще стане просто 1, върху (1 – р). Правилно ли е това? Без значение какъв степенен показател поставям тук, 1 на всяка степен е равно на 1. За да отговорим на въпроса дали това е сходящо или не, интересна е тази част на израза. Това ще зависи от това дали степенният показател е положителен или отрицателен. Ако (1 – р) е по-голямо от нула, ако клоним към безкрайност, и ако повдигаме това на положителна степен, тогава това е разходящо. В този случай е разходящо, и (1 – р) е по-голямо от нула, можем да добавим р към двете страни, в този случай това е равносилно на 1 е по-голямо от р, или р е по-малко от 1, и ще е разходящо. Ако знаем, че р е по-голямо от нула, и ако видим, че р е равно на 1, или е по-малко от 1, тогава това е разходящо. Но ако степенният показател тук е отрицателен, ако (1 – р) е по-малко от нула, помисли, това ще бъде 1/М на някаква положителна степен, това е единият начин да го представим. Когато М клони към безкрайност, това цялото нещо клони към нула. Това наистина е случаят, когато имаме сходимост, когато клоним към крайна стойност. Така че добавяме р към двете страни, става 1 е по-малко от р, има сходимост. И така тук установихме, че този интеграл ще бъде сходящ само когато р е по-голямо от 1. За р > 1 е сходящо. Ако нула е по-малко от р, е по-малко или равно на 1, това е разходящо. И това са точно случаите. Нашият обобщен хармоничен ред е сходящ тогава, и само тогава, когато този интеграл е сходящ. И затова същите условия се отнасят и за първоначалния обобщен хармоничен ред. Нашият първоначален обобщен хармоничен ред е сходящ само в случая, когато р е по-голямо от 1, тогава е сходящ. Ако 0 е по-малко от р, а р е по-малко или равно на 1, тогава имаме разходимост.