Разходящ телескопичен ред

Да кажем, че имаме сумата 1 – 1 + 1 – 1 + 1... и така продължава и продължава до безкрайност, и можем да я запишем със знак сигма. Това е сумата за n (малка буква n) от 1 до безкрайност. Тук има безкраен брой членове, но ние виждаме само първия, който е +1, а после само се сменят знаците. Можем да кажем, че това е равно на –1 на степен (n –1). Само да проверим дали е вярно. Когато n е равно на 1, това е –1 на нулева степен, което е така. Когато n е равно на 2, това е 2 – 1, получаваме –1 на първа степен, което е равно на това тук. Значи това е начин да запишем реда. Сега искам да определим дали този ред е сходящ към някаква крайна стойност. Казано по друг начин – на колко е равна тази сума? Има ли крайна сума, която е равна на този израз тук, или този ред е разходящ? Начинът, по който можем да разглеждаме това, е да вземем частични суми, ще го напиша тук. Частични суми на реда. Можем да дефинираме частичните суми като поставим индекс. Главно N, тази частична сума ще бъде сумата за n от 1, но не до безкрайност, а до N, сумата от (–1) на степен (n – 1). Само да поясня какво означава това – частичната сума само от един член е за n от 1 до N = 1. Това е този първи член тук. Това е просто 1. S_2 е равно на 1 – 1. Това е сумата от първите два члена. S_3 е 1 –1 + 1. Това е сборът от първите три члена, който е равен на... да видим, равен е на 1. Това тук е равно на нула. S_4, можем да продължим, това е равно на 1 – 1 + 1 – 1, което отново е равно на 0. Повтарям, въпросът е дали тази сума е сходяща към някаква крайна стойност. Насърчавам те да спреш видеото на пауза и да помислиш, като имаш дадени тези частични суми тук. За да бъде един ред сходящ, това означава, че границата... една безкрайна сума е сходяща, когато границата... ако имаме сходимост, това е същото като да кажем, че границата, когато N клони към безкрайност на нашата частична сума е равна на някакво крайно число. Ще го напиша така: е равно на някаква крайна стойност. Каква ще бъде тази граница? Да видим, ако можем да напишем това, това ще бъде, да видим S_N, ако искаме да дадем общия случай. Вече видяхме, че ако N е нечетно, това е равно на 1. Ако N е четно, това е равно на нула. Можем да запишем, че S_N... мога да запиша така: ще бъде 1 за N нечетно, и ще бъде 0 за N четно. Тогава каква е границата, когато S_N клони към безкрайност? Каква е границата за N клонящо към безкрайност на сумата S_N? Такава граница не съществува. Сумата се колебае между две стойности. Добавяш още един член и тя става от 1 на 0. Добавяме още един член и става от 0 на 1. Така че тя не клони към някаква крайна стойност. Това не съществува. Изкущаващо е, защото е ограничено. Обаче то само се колебае между 0 и 1. Но не клони към никоя определена стойност, когато N клони към безкрайност. Можем да кажем, че нашата сума S е разходяща. Редът S е разходящ.