Разясняване на критерия на вторите частни производни

Привет! В последното видео разгледахме критерия на вторите частни производни. Ако е дадена някаква функция на много променливи, или ако е просто функция на две променливи, например някаква функция f от (х; у), чиято изходна стойност е някакво число. Когато разглеждаме точките в които функцията има локален максимум или локален минимум, първата стъпка е, както казах в предишно видео, да намерим къде градиентът е равен на нула, като понякога тези точки се наричат критични точки или опорни точки – входни стойности, за които градиентът на функцията е нула – това е просто начин за съкратено записване на факта, че всички частни производни са равни на нула. Когато открием подобна точка, за да проверим дали тя е локален максимум или локален минимум, или седлова точка, без да разглеждаме графиката, защото не винаги е възможно да имаме графиката на функцията, тогава първата стъпка е да изчислим тази дълга формула, която искам сега да обясня логически. Тук влизат трите частни производни, втората частна производна относно х два пъти подред, втората частна производна относно у два пъти подред и смесената частна производна, когато първо диференцираме по отношение на х, а после диференцираме по отношение на у. Изчисляваме тази стойност, като изчисляваме всяка от частните производни в критичната точка и умножаваме двете "чисти" втори частни производни, а после изваждаме квадрата на смесената частна производна. Аз ще ти обясня логиката, но сега просто смятаме това, изчисляваме това число, и ако го означим с Н, ако стойността на Н е по-голяма от нула, това означава, че със сигурност имаме или максимум, или минимум. Значи определено има или максимум, или минимум. За да определим дали е максимум, или е минимум, разглеждаме изпъкналостта в едната от посоките. Разглеждаме втората частна производна по отношение на х, например, и ако тя е положителна, това означава, че когато гледаме по посоката на х, имаме положителна изпъкналост; ако втората частна производна е отрицателна, това означава отрицателна изпъкналост. Това означава, че когато имаме положителна стойност на втората частна производна, тогава имаме локален минимум, а когато имаме отрицателна стойност, тогава има локален максимум. Ето това означава, когато тази стойност Н се окаже по-голяма от нула. Ако стойността Н е строго по-малка от нула, тогава определено имаме седлова точка. Седловата точка не е нито максимум, нито минимум. Това е един вид противоречие в различните посоки дали това е максимум, или е минимум. Когато Н е равно на нула, критерият не е достатъчен, за да направим заключение. Трябва да анализираме още нещо, за да разберем. Защо този критерий действа? Защо тази на пръв поглед случайна конгломерация на вторите частни производни представлява критерий, който ни позволява да определим вида на една критична точка, която разглеждаме? Да разгледаме всеки член поотделно. Втората частна производна по отношение на х, понеже диференцираме два пъти относно х, това е все едно, че разглеждаме цялата функция на много променливи все едно х е единствената променлива, а у е някаква константа. Изглежда, че разглеждаме само движението в посока х. От гледна точка на графиката, да кажем, че имаме тази графика ето тук, представи си, че правим срез с равнина, която представя движението само в посока х, така че в този срез стойностите на у са константа, и сега да разгледаме кривата, в която този срез пресича нашата графика. В примера, който показвам тук, изглежда, че имаме положителна изпъкналост. Значи този член тук ни показва изпъкналостта по х. Това показва каква е изпъкналостта, когато разглеждаме само х като променлива. После, симетрично, ето тук, когато намерим частната производна по отношение на у два пъти подред, това е все едно, че игнорираме факта, че х е променлива, а разглеждаме само движението по посока у. На чертежа съм показал това, при което виждаме тази крива като парабола с положителна изпъкналост, но идеята тук е, че кривата на графиката, която се получава, когато разглеждаме движението само в посока у може да бъде анализирана само като разгледаме втората частна производна по отношение на у два пъти подред. Така че този член един вид ни показва изпъкналостта по у. И сега обърни внимание какво се случва, когато те са различни. Ако х счита, че тук има положителна изпъкналост, а у смята, че има отрицателна изпъкналост. Ще запиша какво означава това. Ако х счита, че има положителна изпъкналост, тогава имаме някакво положително число, като аз ще поставя знак плюс в скоби. После ето тук, изпъкналостта по у може да е някакво отрицателно число, така че ще поставя в скоби един знак минус. Това означава, че първият член ще бъде положително по отрицателно, така че този първи член ще бъде отрицателен. Това, което изваждаме – ще ти покажа логиката, свързана с тази смесена частна производна само след малко, а сега обърни внимание, че този член е на квадрат. Така че този член винаги ще е положителен. Винаги вадим положителен член, което означава, че ако първият член е отрицателен, тогава стойността на Н определено ще е отрицателна. Така че това те отвежда в територията на седловата точка. Това е логично, защото ако посока х и посока у си противоречат за изпъкналостта, тогава това е седлова точка. Пословичен пример за това е, когато имаме функцията f от (х; у) равно на х на квадрат минус у на квадрат. Графиката на тази функция, между другото, е графика, която ще прилича на тази, където.... само да се ориентирам, когато се движим по посока х, има положителна изпъкналост, която съответства на положителния коефициент пред х на квадрат, а в у посока има отрицателна изпъкналост, която съответства на този отрицателен коефициент пред у на квадрат. Когато има подобно противоречие, критерият ни гарантира, че имаме седлова точка. А какво да кажем, ако те си съответстват, ако и х счита, че има положителна изпъкналост, и у счита, че има положителна изпъкналост, или ако и х, и у са съгласни, че има отрицателна изпъкналост. И в двата случая, когато ги умножим, получаваме положително произведение. Това е все едно да кажем, че чисто в посока х или чисто в посока у те съвпадат, тогава ще има категорично положителна изпъкналост, или категорично отрицателна изпъкналост. Тогава този първи член ще бъде положителен. Това е един умен начин да установим дали посоката х и посоката у са на едно мнение. Но причината това все пак да не е достатъчно, е, че и в двата случая изваждаме нещо, което винаги е положително. Така че, когато имаме такова единодушие между посоката х и посоката у, се получава битка между този съюз на х и на у и тази смесена частна производна. Колкото "по-силен" е членът със смесената частна производна, толкова по-голямо отрицателно число получаваме тук за Н, така че той изтегля цялата стойност на Н в отрицателна посока. Да видим дали мога да обоснова защо този член със смесената частна производна се опитва да измести нещата към седлова точка. Да разгледаме същата проста функция f от (х;у) равно на х по у. Графиката на тази функция f от (х;у) равно на х по у е ето тази. Тя прилича на седлова точка. Да разгледаме частните ѝ производни. Първите частни производни – частната производна относно х и частната производна относно у – когато диференцираме относно х, х е променлива, у е константа, производната е просто у. След това диференцираме относно у, точно обратния случай. у изглежда променлива, х изглежда като константа. Производната е равна на константата х. Сега да видим вторите частни производни. Когато диференцираме относно х два пъти подред, това изглежда като константа, така че получаваме нула. По същия начин, когато диференцираме относно у два пъти подред, производната на х относно у – х изглежда е константа, производната е нула. Важният член, този който искаме да разгледаме, е смесената частна производна относно х, а после относно у, което можеш да разглеждаш по два начина. Или диференцираш този израз относно у, в който случай получаваш 1, или диференцираш този израз относно х, когато отново получаваш 1. Изглежда, че тази функция ни предлага много добър начин да разгледаме члена, който съдържа смесената частна производна. Колкото по-висок е коефициентът, ако тук имам коефициент – например ако тук е 3, това означава, че смесената частна производна определено ще бъде 3. Обърни внимание, че причината това да изглежда като седло е понеже посоките х и у са в противоречие. По същество, ако разгледаме чистото движение в посока х, то изглежда като константа. Височината на графиката в тази равнина, по протежение на тази права е просто константа, която съответства на факта,че втората частна производна по отношение на х е равна на 0. По същия начин, ако направим срез с равнина, която представлява константна стойност на х, което означава, че се движим само в посока у, то височината на графиката няма да се промени тук, тя винаги е нула, което съответства на факта, че другата частна производна е нула. Причината цялата графика да изглежда като седло е, че когато направим срез с една диагонална равнина, тогава това изглежда като отрицателна изпъкналост. Но ако трябва да я срежем в другата посока, тогава ще изглежда като положителна изпъкналост. Така че този член х по у изглежда е начин да установим дали съществува противоречие в диагоналните посоки. Едно нещо, което може да те изненада първо, е това, че ни е нужна само една от вторите частни производни, за да можем да определим цялата информация за диагоналните посоки. Защото можеш да си представиш, че може би има противоречие между движението по направление на даден вектор и движението по направление на друг вектор, и тогава ще трябва да разглеждаме безкрайно много посоки, и да анализираме всички тях. Но, очевидно, се оказва, че е достатъчно да разглеждаме само този член, който съдържа смесената частна производна. Така заедно с оригиналната чиста втора частна производна по отношение на х два пъти подред и по отношение на у два пъти подред. Но все пак, когато разглеждаме само три различни члена, за да установим евентуално противоречие в безкрайно много посоки, изглежда доста изненадващо. Ако искаш пълна, изчерпателна обосновка защо това е така, защо този критерий на вторите частни производни е ефективен, едно безспорно доказателство, направих специална статия, в която могат да се намерят всички "секретни" подробности за тези, които се интересуват. Но ако искаш просто да имаш представа, мисля, че е достатъчно да знаеш това, че тази смесена частна производна ти показва в каква степен твоята функция прилича на графиката на f(х; у) равно на х по у. Което е графиката, която показва основното противоречие по диагоналите. После, когато оставиш този член, членът със смесената частна производна, един вид да се "бори" със единомислието на посоките х и у, ако тяхното единомислие е силно, тогава трябва да извадим една много голяма стойност, за да може да получим отрицателно число. Така че тази битка върви, и ако стойността тук стане твърде отрицателна, това дава седлова точка, а ако този член не е достатъчно силен, тогава единомислието на х и у печели и тогава имаме или локален максимум, или локален минимум. Надявам се, че това ти даде известна представа какво представлява този член и защо е логично да обединим трите различни втори частни производни, които имаме, като пак повтарям – ако искаш пълната информация, можеш да я намериш като статия в Кан Академия. До скоро!