Формула за квадратична апроксимация, част 2

♫ О, нека малко тук да подредим. ♫ Чудесно! В последното видео конструирах "гръбнака" на формулата за квадратична апроксимация, която означих като функцията Q, апроксимацията на една произволна функция на две променливи, която означаваме с f, като формулата, която виждаме, изглежда като нещо доста сложно. Тя съдържа шест различни члена. Първите три по същество ги откраднах от формулата за локална линеаризация и ги записах в техния общ вид. Това е причината всичко да изглежда много по-сложно, отколкото е всъщност. Следващите три члена са квадратичната част. Това тук по същество е х на квадрат. Изразихме го като (х – х0) на квадрат, така че да не обърква нещата с това преди него, когато заместим с х равно на х0, но принципно можем да го разглеждаме като х на квадрат. После това тук по същество е х по у, но съчетаваме всяка променлива съответно с х0 и у0. След това имаме члена у на квадрат. Въпросът, който ни вълнува, е как да намерим тези константи. Как да намерим коефициентите пред квадратните членове, за да стане така, че графиката на тази функция Q да прилегне плътно към графиката на f? В първото видео ти показах какво означава това плътно прилягане. Когато разглеждаме въпроса аналитично, с формули, целта ни е, вероятно трябва да си зададем въпроса каква искаме да е стойността на втората частна производна на Q. Например, ако намерим частната производна относно х два пъти поред, искаме тя да е такава, че когато вземем този израз и го изчислим в интересуващата ни точка, точката, в която апроксимираме стойността на функцията, да получим същото, както когато намерим втората производна на f по-точно съответната втора частна производна, защото имаме няколко различни втори частни производни, и да я изчислим в същата точка. И, разбира се, искаме това да е вярно не само за втората частна производна по отношение на х, два пъти подред, но и когато изчислим и другите частни производни. Както, например, ако намерим частната производна първо по отношение на х, а после по отношение на у. Това се нарича смесена частна производна. Искаме това да е вярно, така че когато изчислим това в интересуващата ни точка, това е все едно да намерим смесената частна производна на f по отношение на х, а после по отношение на у, и да я изчислим в същата точка. Запомни, че за почти всички функции, с които се сблъскваме, когато намерим тази втора частна производна, когато имаме комбинация от двете променливи, няма значение в какъв ред го правим, нали? Можем да намерим втората частна производна първо относно х, а после относно у, или може първо относно у, а после относно х. Обикновено тези втори частни производни са равни. Има някои функции, за които това не е така, но ще приемем, че по принцип работим с функции, за които това е вярно. Това е единствената смесена частна производна, която ни интересува. И аз ще се отърва от написаното ето тук. След това, разбира се, последно, просто искам да го запиша тук, е това, че искаме втората частна производна, когато я определим два пъти подред относно у, и когато я изчислим в същата точка, тук стана много претрупано, има толкова много писане, когато работим с тези неща, което един вид е неизбежно в анализа на функции на много променливи, но сега намираме частната производна по отношение на у, събираме ги двете, и искаме да имат една и съща стойност в тази точка. Въпреки че тук сме записали толкова много неща, всички те по същество ни казват, че цялата информация от вторите частни производни трябва да е еднаква за Q и за f. Да се върнем горе и да погледнем нашата функция и да започнем да разсъждаваме какви са тези частни производни. Какви са тези първи и втори частни производни. За да го направим – само първо малко ще почистя дъската тук, . за да можем наистина да започнем да изчисляваме вторите частни производни. Да го направим. Първо, тази частна производна по отношение на х два пъти подред, това, което ще направим, е да вземем едно от тези и да намерим частната производна относно х. След това вътре ще сложим това, което е частната производна на целия този израз относно х. Но ще го правим член по член. Първият член тук е константа, така че ще даде нула. Вторият член съдържа променливата х. Когато намерим частната му производна, понеже това е линеен член, остава просто тази константа пред променливата. Значи ще бъде тази константа, която е стойността на частната производна на f по отношение на х, изчислена в интересуващата ни точка. Това е просто константа. Добре, това е това тук. Следващият член не съдържа х, така че производната му е нула. Този член е интересен, понеже съдържа х. Когато намерим производната му по отношение на х, тази двойка в степенния показател слиза долу. Значи това ще бъде 2 по а, по константата, каквато и да е тя, умножено по (х – х0). Това е производната на този компонент относно х. После този член тук, той също съдържа х, но от първа степен, така че е един вид линеен член. Когато разглеждаме у като константа, понеже намираме частната производна относно х, производната става b, умножено по това, което изглежда като константа по отношение на х, у минус у нулево. После последният член не съдържа променливата х. Така че това е първата частна производна относно х. Сега ще диференцираме отново. Сега ще намерим частната производна относно х, и всичко, което... може би трябва да изтрия даже още повече от това тук. Сега, когато намираме частната производна на този израз относно х, f от х минус х нулево, у нулево, това е просто константа, така че производната е нула. Две по а по х, това ще ни даде – когато диференцираме относно х, производната е просто 2 по а. Последният член не съдържа х, така че отново получаваме нула. Това е много удобно, когато намираме втората частна производна на Q относно х. Получаваме просто една константа и тази константа е 2 по а. И понеже искаме да намерим– искаме цялото това нещо да е равно на... всъщност какво точно търсим? Търсим втората частна производна на f два пъти подред относно х. Ще го означа с долен индекс. Тук използвам означения по Лайбниц, така да се каже, така че това е втората частна производна по отношение на х, която искаме да е равна на това, когато го изчислим в интересуващата ни точка. Това, което можем да направим, за да се случи това, за да бъде равно 2 по 'а' на това, записвам, че 'а' е равно на една втора по втората частна производна, изчислена в интересуващата ни точка. Добре. Това един вид го свършихме. Да не забравяме, че така намерихме една от константите. Сега да започнем да мислим за друга константа. Всъщност няма нужда да скролвам, защото да кажем, че ще намерим смесената частна производна тук, ако вместо да диференцираме относно х два пъти подред, сега искаме... ще изтрия това – искаме първо да диференцираме по отношение на х, а след това по отношение на у. Можем един вид само да редактираме това, което е ето тук, и да кажем, че вече сме диференцирали по отношение на х, а сега втория път ще диференцираме по отношение на у. Така че в този случай, вместо да получим 2 по 'а', какво ще получим сега? Когато диференцираме това нещо тук по отношение на у, това изглежда като константа. Това тук също изглежда като константа, тъй като диференцираме по отношение на у, а тук няма у. Частната производна на това в крайна сметка е 'b'. Така че отново получихме константа. Сега е b, но не два пъти, предната производна беше две по а, а сега е просто b. Този път искаме това да е равно на смесената частна производна. Вместо да кажем f с индекс хх, ще запиша ху, което означава, че намираме първо частната производна по отношение на х, а после по отношение на у. Искаме това да е равно на същата стойност, на частната производна, изчислена в тази точка. Значи така получихме още един факт. Така че можем да напишем просто, че b е равно на това. Това е още един факт, друга константа, която можем да запишем. Сега да видим с, когато се опитаме да намерим колко е тя, разсъжденията са почти същите – това е много симетрично – правим всичко, което направихме в случая с х, само че сега намираме частната производна по отношение на у два пъти подред. Препоръчвам ти да я намериш самостоятелно. Това определено ще затвърди всичко, което направихме досега, защото изглежда, че това е много трудоемко и съдържа много сметки. Но ще достигнеш по същество до същия резултат, както за константата а. В този случай константата с ще е равна на една втора по втората частна производна на f по отношение на у. Диференцираме два пъти подред по отношение на у и изчисляваме в интересуващата ни точка. Това ще бъде третият факт. Начинът, по който достигаме до този извод – повтарям – е почти идентичен с начина, по който намерихме константата за х. Сега, когато заместим тези стойности на а, b и с, тези константи, въпреки, че сме ги записали като формули, това са си константи, когато ги заместим в тази формула, ще получим квадратичната апроксимация. Тя ще съдържа шест различни членове. Един, който съответства на константата, два ще съответстват на тази линейна част, и накрая три члена, които съответстват на отделните квадратни членове. Ако искаш да задълбаеш по-подробно в темата, и ако искаш да видиш един-два примера на това, имаме специална статия за квадратичните апроксимации, която можеш да видиш и да направиш някои изчисления самостоятелно. Но във всичко това, въпреки че тук има толкова много сметки, има толкова много писане, искам да се върнеш обратно и да видиш първоначалната графична логика – всъщност аз мога да покажа графичното съответствие и тук. Ако апроксимираш функция около някаква точка, квадратичната апроксимация прилича на крива, която, ако я срежем в някаква посока, ще прилича на парабола, но тя приляга много плътно към графиката на функцията. Така че това е една много добра апроксимация. Въпреки че тук има толкова много формули, толкова много сметки, за да стигнем до това, но нагледната илюстрация и цялостната логика всъщност дават много добра представа. Просто искаме да намерим функция, чиято графика приляга добре към графиката на функцията. Приключвам с това. До скоро!