Основно съдържание

Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 3

Урок 1: Допирателни равнини и локална линеаризация

Локална линеаризация

В този урок ще се научим как да обобщим идеята за допирателна равнина, за да достигнем до линейна апроксимация на скаларни функции на много променливи.

Преговор

Градиент

Основни идеи

Локалната линеаризация е обобщение на идеята за допирателни равнини за функции на повече от две променливи. Тук ще разгледаме само скаларни функции, но подобни идеи могат да бъдат приложени и за векторни функции.
Основната идея е да намерим приближение на дадената функция в разглежданата точка, което има по-прост вид (в случая линейна функция), и неговите първи производни съвпадат с тези на разглежданата функция.
Векторният запис на линейната апроксимация изглежда така:
$L_{f} (x) = \underset{константа}{\underset{⏟}{f (x_{0})}} + \underset{константен вектор}{\underset{⏟}{\nabla f (x_{0})}} \cdot \overset{x е променливата}{\overset{⏞}{(x - x_{0})}}$ ‍
Това е локалната линеаризация на $f$ ‍ около $x_{0}$ ‍.

Допирателните равнини като приближения на функцията

В предишния урок научихме как се намира допирателната равнина към графиката на функция на две променливи.

Формулата за допирателна равнина, която получихме, е следната:

\begin{array}{r} T (x; y) = f (x_{0}; y_{0}) + f_{x} (x_{0}; y_{0}) (x - x_{0}) + f_{y} (x_{0}; y_{0}) (y - y_{0}) \end{array}

Функцията

T (x; y)

често носи друго име: "локална линеаризация" на

f

в точката

(x_{0}; y_{0})

. По дефиниция това е линейната функция, притежаваща следните две свойства:

Стойността ѝ в точката $(x_{0}; y_{0})$ ‍ съвпада с тази на $f$ ‍.
Първите ѝ производни в точката $(x_{0}; y_{0})$ ‍ са същите като тези на $f$ ‍.

При работата с функции на много променливи не винаги можем да си представим какво се случва, особено при наличие на повече измерения. Затова по-добре е да имаме аналитичен, освен визуален, поглед към различните концепции в математическия анализ.

Локалната линеаризация е най-близкото приближение към дадената функция, което можем да получим, когато знаем само първите производни на функцията в дадена точка.

При функциите на една и две променливи това са съответно допирателната (права) и допирателната равнина. При повече променливи обаче не можем да начертаем линейното приближение.

При повечето приложения на математическия анализ не се интересуваме толкова от допирателната равнина, колкото от свойствата ѝ на линейно приближение на разглежданата функция. Например, ако представим въздушното съпротивление в различни точки на парашут като функция на посоката и скоростта на парашута, често предпочитаме да работим с линейното приближение на тази функция, отколкото със самата (често доста сложна) функция.

Какво означава "линейна функция"?

Дадена е следната многомерна функция:

$f (x_{1}; x_{2}; \dots; x_{n})$ ‍

Наричаме тази функция линейна, когато в дефиницията ѝ всички едночлени са или от първа степен, или константи. Например следната функция е линейна:

$f (x_{1}; x_{2}; \dots; x_{n}) = 2 x_{1} + 3 x_{2} + \dots - 5 x_{n}$ ‍

Линейните функции са предмет на дял от математиката, наречен "линейна алгебра", но засега нашата обикновена дефиниция е достатъчна. Обикновено, вместо всички променливи подред, представяме аргументите на функцията като вектор:

$x = [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}]$ ‍

Съответният векторен запис на линейна функция е скаларно произведение:

$f (x) = [\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ ⋮ \\ - 5 \end{matrix}] \cdot x$ ‍

За целите на този урок можем да добавим константа към този израз:

$f (x) = \underset{константа}{\underset{⏟}{c}} + \overset{вектор}{\overset{⏞}{v}} \cdot x$ ‍

Всъщност след добавяне на константата функцията не е вече линейна, а се нарича "афинна". Понякога терминът "линейна функция" се използва със или без константата, зависи от контекста.

Локална линеаризация

А сега си представи, че функцията

f (x)

не е линейна. (Удебелената променлива "

x

" е векторът от аргументите на функцията.) Може би е дефинирана като дълъг и сложен израз, вместо обикновено скаларно произведение.

Основната идея на локалната линеаризация е да намерим приближение на разглежданата функция около дадена отправна точка

x_{0}

, което само по себе си представлява линейна функция. По-точно ето как би изглеждала локалната линеаризация:

$L_{f} (x) = \underset{константа}{\underset{⏟}{f (x_{0})}} + \underset{константен вектор}{\underset{⏟}{\nabla f (x_{0})}} \cdot \overset{x е променливата}{\overset{⏞}{(x - x_{0})}}$ ‍

Ако заместим $x = x_{0}$ ‍, получаваме директно, че функциите $f$ ‍ и $L_{f}$ ‍ приемат една и съща стойност в точката $x_{0}$ ‍.
Векторът, умножен по $x$ ‍, е градиентът на $f$ ‍ в разглежданата точка, тоест $\nabla f (x_{0})$ ‍. Заради това $f$ ‍ и $L_{f}$ ‍ имат равни градиенти в отправната точка. С други думи, всичките им първи частни производни са равни.

Най-добрият начин да разбереш тази формула е да я видиш в действие.

Пример 1: Намиране на локална линеаризация

Задача: Дадена е функцията:

$f (x; y; z) = z e^{x^{2} - y^{3}}$ ‍

Да се намери линейна функция

L_{f} (x; y; z)

, такава че стойността на

L_{f}

и всичките ѝ първи производни съвпадат с тези на

f

в точката:

$(x_{0}; y_{0}; z_{0}) = (8; 4; 3)$ ‍

Стъпка 1: Намираме стойността на

f

в избраната точка

$f (8; 4; 3) =$ ‍

Стъпка 2: Използваме тази точка като отправна за търсената линейна функция. Коя от следните функции е равна на

f

в точката

(x; y; z) = (8; 4; 3)

Избери един отговор:
(Избор А)
$L_{f} (x; y; z) = 3 + 8 a x + 4 b y + 3 c z$ ‍
(Избор Б)
$L_{f} (x; y; z) = 3 + a (x - 8) + b (y - 4) + c (z - 3)$ ‍
И в двата случая $a$ ‍, $b$ ‍ и $c$ ‍ са произволни константи.

Можем да започнем записа на търсената функция $L_{f}$ ‍ така:
$L_{f} (x; y; z) = 3 + < нещо равно на 0, когато (x; y; z) = (8; 4; 3) >$ ‍
За да сме сигурни, че остатъкът от уравнението е $0$ ‍ в точката $(x; y; z) = (8; 4; 3)$ ‍, запазвайки функцията линейна, добавяме само линейни комбинации на $(x - 8)$ ‍, $(y - 4)$ ‍ и $(z - 3)$ ‍, тъй като и трите израза са $0$ ‍ в отправната точка.
$L_{f} (x; y; z) = 3 + a (x - 8) + b (y - 4) + c (z - 3)$ ‍

Частните производни на

L_{f}

са

a

b

c

. Ако искаме първите производни на тази линейна функция да съвпадат с тези на

f

в точката

(8; 4; 3)

, трябва да заместим съответните производни на

f

на мястото на неизвестните параметри.

Стъпка 3: Намираме първите производни на

f (x; y; z) = z e^{x^{2} - y^{3}}

$f_{x} (x; y; z) =$ ‍
$f_{y} (x; y; z) =$ ‍
$f_{z} (x; y; z) =$ ‍

Сега заместваме

(8; 4; 3)

$f_{x} (8; 4; 3) =$ ‍
$f_{y} (8; 4; 3) =$ ‍
$f_{z} (8; 4; 3) =$ ‍

Стъпка 4: Заместваме константите

a

b

c

в израза на

L_{f}

с получените частни производни. Какво се получава?

$L_{f} (x; y; z) =$ ‍

Как изглежда този израз, записан чрез вектори?

Това е частен случай на общата формула, която изведохме по-горе.

$L_{f} (x) = \underset{константа}{\underset{⏟}{f (x_{0})}} + \underset{константен вектор}{\underset{⏟}{\nabla f (x_{0})}} \cdot \overset{x е променливата}{\overset{⏞}{(x - x_{0})}}$ ‍

Пример 2: Локалната линеаризация като приближение на функцията

Следната задача не е директно практическо приложение на локалната линеаризация, но е интересен поглед върху нея като грубо приближение на дадена функция.

Задача: Да се намери приблизителната стойност на израза

\sqrt{2, 01 + \sqrt{0, 99 + \sqrt{9, 01}}}

Решение:

Можем да приемем този израз като стойността на дадена функция в точката

(2, 01; 0, 99; 9, 01)

, или по-точно на функцията

f (x; y; z) = \sqrt{x + \sqrt{y + \sqrt{z}}}

За да намерим приближение на стойността на функцията, ще използваме локалната линеаризация на

f

в точката

(2, 01; 0, 99; 9, 01)

Разглежданата точка е много близо до точката

(2; 1; 9)

, за която локалната линеаризация на

f

е по-лесна за пресмятане. Както преди, търсим стойностите на

$f (2; 1; 9)$ ‍
Всички първи производни на $f$ ‍ в точката $(2; 1; 9)$ ‍

За стойността на функцията получаваме

\begin{aligned} f (2; 1; 9) & = \sqrt{2 + \sqrt{1 + \sqrt{9}}} \\ = \sqrt{2 + \sqrt{1 + 3}} \\ = \sqrt{2 + \sqrt{4}} \\ = \sqrt{2 + 2} \\ = \sqrt{4} \\ = 2 \end{aligned}

Изглежда сме избрали удобни аргументи за тази задача, а?

За производните – нека първо намерим производната на

\sqrt{x}

\begin{aligned} \frac{d}{d x} \sqrt{x} & = \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \end{aligned}

След това можем да намерим

f_{x}

\begin{aligned} f_{x} & = \frac{\partial}{\partial x} \sqrt{x + \sqrt{y + \sqrt{z}}} = \frac{1}{2 \sqrt{x + \sqrt{y + \sqrt{z}}}} \end{aligned}

За производната по

y

трябва да използваме правилото за диференциране на сложни функции, за да намерим

f_{y}

\begin{aligned} f_{y} & = \frac{\partial}{\partial y} \sqrt{x + \sqrt{y + \sqrt{z}}} = \frac{1}{2 \sqrt{x + \sqrt{y + \sqrt{z}}}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{y + \sqrt{z}}} \end{aligned}

По подобен начин намираме и производната по

z

\begin{aligned} f_{z} & = \frac{\partial}{\partial z} \sqrt{x + \sqrt{y + \sqrt{z}}} = \frac{1}{2 \sqrt{x + \sqrt{y + \sqrt{z}}}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{y + \sqrt{z}}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{z}} \end{aligned}

След това заместваме

(2; 1; 9)

. Няколко от изразите се повтарят, така че първо намираме техните стойности

\begin{aligned} \frac{1}{2 \sqrt{x + \sqrt{y + \sqrt{z}}}} & = \frac{1}{2 \sqrt{2 + \sqrt{1 + \sqrt{9}}}} = \frac{1}{2 \sqrt{2 + 2}} = \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2 \sqrt{y + \sqrt{z}}} & = \frac{1}{2 \sqrt{1 + \sqrt{9}}} = \frac{1}{2 \sqrt{4}} = \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2 \sqrt{z}} & = \frac{1}{2 \sqrt{9}} = \frac{1}{6} \end{aligned}

и след това заместваме, за да получим производните

\begin{aligned} f_{x} (2; 1; 9) & = \frac{1}{4} \\ f_{y} (2; 1; 9) & = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{16} \\ f_{z} (2; 1; 9) & = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{96} \end{aligned}

Накрая, заместваме във формулата за локална линеаризация и получаваме

\begin{aligned} L_{f} (x) & = f (x_{0}) + \nabla f (x_{0}) \cdot (x - x_{0}) \\ = f (x_{0}) + f_{x} (x_{0}) (x - x_{0}) + f_{y} (x_{0}) (y - y_{0}) + f_{z} (x_{0}) (z - z_{0}) \\ = 2 + \frac{1}{4} (x - 2) + \frac{1}{16} (y - 1) + \frac{1}{96} (z - 9) \end{aligned}

След като вече имаме локалната линеаризация, заместваме

(x; y; z) = (2, 01; 0, 99; 9, 01)

, за да получим приближението на функцията в тази точка

\begin{aligned} 2 + \frac{1}{4} (2, 01 - 2) + \frac{1}{16} (0, 99 - 1) + \frac{1}{96} (9, 01 - 9) \\ = 2 + \frac{0, 01}{4} + \frac{- 0, 01}{16} + \frac{0, 01}{96} \end{aligned}

Намирането на стойността на този израз също не е лесно, но поне е възможно, за разлика от корените, които имахме в началото. Крайният резултат е

2,001 979

Ако използваме калкулатор, за да намерим точната стойност на функцията, отговорът е

\sqrt{2, 01 + \sqrt{0, 99 + \sqrt{9, 01}}} \approx 2,001 978

Така че нашето приближение е доста добро!

Защо се интересуваме?

Макар че рядко се случва човешкото оцеляване на пустинен остров да зависи от апроксимации на квадратни корени, в областта на математиката и инженерните науки подходящите апроксимации са задължителни за един успешен проект.

Запомни, локалната линеаризация е приближение на дадената функция в точка, получено от стойностите на първите производни на функцията. Дори и да можем да пресметнем това приближение с компютър, понякога това не е достатъчно.

Понякога трябва да намерим хиляди такива приближения в секунда и тогава програмата, която имаме на разположение, може да не е достатъчно бърза.
Може би нямаме функцията в явен вид, а вместо това имаме няколко нейни стойности около точката на апроксимация.
Понякога търсим обратната функция на дадената, което в общия случай е трудно за намиране. Ако обаче използваме линейната апроксимация на дадената функция, намирането на обратната функция вече е лесно.

Обобщение

Локалната линеаризация е обобщение на идеята за допирателна равнина при функции на повече от две променливи.
Основната идея е да намерим приближение на дадената функция в разглежданата точка, което има по-прост вид (в случая линейна функция), и неговите първи производни съвпадат с тези на разглежданата функция.
Векторният запис на линейната апроксимация изглежда така:
$L_{f} (x) = \underset{константа}{\underset{⏟}{f (x_{0})}} + \underset{константен вектор}{\underset{⏟}{\nabla f (x_{0})}} \cdot \overset{x е променливата}{\overset{⏞}{(x - x_{0})}}$ ‍
Това е локалната линеаризация на $f$ ‍ около $x_{0}$ ‍.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.