Пример за двумерна ротация на векторно поле

Да изчислим двумерната ротация на едно векторно поле. Векторното поле, което имам предвид, има х-компонент – нека да не е 9. у на трета степен минус 9 по у, а после у-компонентът му е х на трета степен минус 9 по х. Виждаш, че обожавам симетрията, когато избирам тези примери. Когато ти показах в предишното видео какво представлява двумерната ротация на векторно поле, ако векторното поле V е функция от х и от у, двумерната ротация е равна на частната производна на Q – на втория компонент – частната производна на Q по отношение на х, минус частната производна на първия компонент Р по отношение на у. Разгледахме защо това е така, но искам съвсем набързо да го обобщя тук, това частно Q, частно х показва, че когато се движим от ляво надясно у-компонентите на векторите се променят от малка, даже и от отрицателна стойност, до положителна стойност на у-компонента, което съответства на въртене обратно на часовниковата стрелка. По същия начин това dP, dy показва, че ако векторите – когато се движим нагоре и надолу, когато един вид нараства стойността на у, от положителна, през нула до отрицателна, или ако намалява, тогава това съответства на ротация обратно на часовниковата стрелка. Тази стойност със знак минус ни показва дали промените в посока у около точката съответстват на ротация обратно на часовниковата стрелка. В този конкретен случай, когато започнем да изчисляваме това, разглеждаме частната производна на Q по отношение на х. Разглеждаме втория компонент, намираме частната му производна по отношение на х, и в този случай, обърни внимание, че имаме само х, така че намираме производната и получаваме 3 по х на квадрат минус 9. Това е първата част. После изваждаме частната производна на Р по отношение на у, така че се връщаме горе, където имаме само у, и сега ще се опитам да се възползвам от тази симетрия на функциите, получаваме същия резултат – три по у на квадрат, което е производната на у на трета степен, после минус 9. Това е нашата двумерна ротация. Да видим какво означава това. По същество векторното поле, което ти показах, е съвсем същото, което използвах, когато показах анимация, за да обясня какво представлява ротацията, когато имахме тези отделни участъци, в които има положителна ротация тук и отрицателна ротация горе, в тези области с ротация по посока на часовниковата стрелка. Сега можем да видим защо това е така ето тук, и защо избрах точно тази функция за илюстрация на векторно поле с много примери за положителна ротация. Защото, ако разгледаме този участък, където ротацията трябва да е положителна, там, където х е равно на 3, а у е равно на 0. Така че идвам тук и казвам: ако х е равно на 3, а у е равно на 0, тогава цялата тази формула ни дава – да видим – 3 по 3 на квадрат, минус 9, и после минус стойността, която заместваме за у, така че това е 3 по у на квадрат, което е просто нула, защото у е нула, минус 9. Тази част е 27, това 3 по 9, което е 27, минус 9 и получаваме 18. После изваждаме минус 9, което става плюс 9, и цялото дава 27. Това е голяма положителна стойност, значи ротацията е положителна, ето защо, когато дойдем тук и разгледаме флуидния поток, виждаме ротация обратно на часовниковата стрелка в тази област. Да сметнем всичко това, като вместо х равно на 3 и у равно на 0 да вземем х равно на 0 и у равно на 3. В този случай ако х е равно на нула, а у е равно на 3, да видим какво ще получим. х е нула, а у – всяко едно деление тук е равно на една втора, значи у равно на 3 се намира тук, в тази област с движение по посока на часовниковата стрелка, ако пусна анимацията ротацията е по посока на часовниковата стрелка, значи очакваме отрицателна стойност. Да видим какво ще получим. Идвам ето тук и ще изчисля още един път цялата функция. Сега замествам х = 0, това е 3 по нула, минус 9. След това изваждаме 3 по у на квадрат, значи 3 по 3 на квадрат. Три на квадрат минус девет. Цялата тази част става нула, така че получаваме минус девет ето тук, и ето тук изваждаме, 27 минус 9, дава 18, значи изваждаме 18. Крайният резултат е минус 27. Значи това е равно на минус 27. Понеже това е отрицателно, това съответства на ротация по посока на часовниковата стрелка, която се наблюдава в тази област. Ако заместим най-различни точки, например можем да видим, че ако заместим нула и за х, и за у, тези деветки ще се съкратят, което обяснява защо ето тук тук няма ротация в тази област, когато и х, и у са равни на 0. Можеш да разгледаш всяка отделна точка и да намериш сумарната ротация във всяка отделна точка просто като използваш формулата за двумерната ротация, и заместваш в нея съответните стойности на х и на у. Тази формула е изключително полезен инструмент, защото ротацията се определя много трудно, ако ти покажа просто този сложен чертеж на флуиден поток и поискам да определиш число, което да ми показва общата посока и силата на ротацията във всяка точка, това е много информация, затова е полезна тази толкова компактна формула.