Основно съдържание

Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 2

Урок 11: Дивергенция и ротация (статии)

Дивергенция

Класна стая на Google

Дивергенцията е мярка за промяната на плътността на флуид, чието движение е представено с векторно поле.

Преговор

Основни идеи

Тълкуваме векторното поле като поток на флуид.
Дивергенцията е оператор, който превръща векторна функция, описваща векторно поле, в скаларна функция, описваща промяната в плътността му във всяка точка.
Ето формулата за дивергенция:
$\begin{array}{r} div \vec{v} = \nabla \cdot \vec{v} = \frac{\partial v_{1}}{\partial x} + \frac{\partial v_{2}}{\partial y} + \dots \end{array}$ ‍

където

v_{1}

v_{2}

\dots

са компонентите на вектора

\vec{v}

Промяна в плътността на флуид

Нека разгледаме следното векторно поле:

Това е графиката, но каква е функцията?

$\vec{v} (x; y) = [\begin{matrix} 2 x - y \\ y^{2} \end{matrix}]$ ‍

Функцията

\vec{v}

има два аргумента,

(x; y)

, и стойностите ѝ са също двумерни - по един вектор за всяка двойка аргументи

(x; y)

Това векторно поле може да бъде разглеждано като поток на флуид. Векторът

\vec{v} (x; y)

, съответстващ на точката

(x; y)

, описва движението на частица от флуида в точката

(x; y)

. Нещо повече, скоростта на частицата е равна на дължината на този вектор. Следната анимация показва как изглежда флуидът за нашата функция

\vec{v}

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

Обърни внимание, че в някои области флуидът се сгъстява, а в други става по-рядък. Например в горната средна част частиците се разпръскват, а долу вляво от тази област частиците се сгъстяват.

Ключов въпрос: За дадена векторна функция

\vec{v} (x; y)

, как измерваме промяната на плътността на частиците около точката

(x; y)

, когато тези частици се движат спрямо функцията

\vec{v} (x; y)

Отговорът на този въпрос е: вариация на производната, наречена дивергенция. По-късно ще се върнем към флуидите, а сега само ще въведем това понятие.

Начин на записване и формула за дивергенция

Дивергенцията се означава със същия символ "

\nabla

", както и градиента. Както при градиента, разглеждаме този символ като вектор от частни производни.

\begin{array}{r} \nabla = [\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ ⋮ \end{array}] \end{array}

Дивергенцията на векторната функция

\vec{v} (x; y; \dots)

$\nabla \cdot \vec{v} \leftarrow дивергенция на \vec{v}$ ‍

Това е леко безсмислено, тъй като

\nabla

не е истински вектор. Координатите са оператори, а не числа. Въпреки това този запис е полезен при самото пресмятане на дивергенцията:

\begin{aligned} \nabla \cdot \vec{v} & = [\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 2 x - y \\ y^{2} \end{array}] \\ = \frac{\partial}{\partial x} (2 x - y) + \frac{\partial}{\partial y} (y^{2}) \\ = 2 + 2 y \end{aligned}

В общия случай можем да пресметнем дивергенцията на векторно поле от произволна размерност. Тоест

\vec{v}

може да има произволен брой аргументи, стига стойностите на функцията да са със същата размерност (иначе не описва векторно поле). Ако запишем

\vec{v}

по следния начин:

\begin{aligned} \vec{v} (x_{1}; \dots; x_{n}) & = [\begin{array}{c} v_{1} (x_{1}; \dots; x_{n}) \\ ⋮ \\ v_{n} (x_{1}; \dots; x_{n}) \end{array}] \end{aligned}

то дивергенцията на

\vec{v}

е:

\begin{array}{r} \nabla \cdot \vec{v} = [\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x_{1}} \\ ⋮ \\ \frac{\partial}{\partial x_{n}} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} v_{1} \\ ⋮ \\ v_{n} \end{array}] = \frac{\partial v_{1}}{\partial x_{1}} + \dots + \frac{\partial v_{n}}{\partial x_{n}} \end{array}

Нека обобщим със следната кратка диаграма:

Тълкуване на дивергенцията

Да речем, че дивергенцията на полето

\vec{v}

в дадена точка

(x_{0}; y_{0})

е отрицателна.

\begin{array}{r} \nabla \cdot \vec{v} (x_{0}; y_{0}) < 0 \end{array}

Това означава, че флуидът, чието движение описва

\vec{v}

, се сгъстява в точката

(x_{0}; y_{0})

. Например следната анимация показва векторно поле с отрицателна дивергенция в центъра на координатната система.

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

От друга страна, ако дивергенцията в точката

(x_{0}; y_{0})

е положителна,

\begin{array}{r} \nabla \cdot \vec{v} (x_{0}; y_{0}) > 0 \end{array}

флуидът, движещ се според векторното поле, става по-рядък в точката

(x_{0}; y_{0})

. Ето пример:

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

И накрая, нулевата дивергенция има изключително важно значение в динамиката на флуидите и електродинамиката. Това означава, че когато даден флуид тече свободно, плътността му остава константа. Това е още по-важно, когато става въпрос за несвиваеми флуиди, например вода. Всъщност самата идея, че един флуид е несвиваем, може да бъде изразена чрез следното уравнение:

\begin{array}{r} \nabla \cdot \vec{v} = 0 \end{array}

Такива векторни полета наричаме "соленоидални". Ето как изглежда едно такова поле:

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

Източници и изтичания

Понякога, когато дадена точка от векторното поле има отрицателна дивергенция, вместо за сгъстяване, говорим за "изтичане" на флуида - все едно в точката има дупка, от която флуидът изтича. Ето как изглежда едно такова изтичане:

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

Точките с отрицателна дивергенция се наричат "изтичания" (също и "сифон" или "мивка").

Съответно точките с положителна дивергенция можем да разглеждаме като "източници", постоянно генериращи нови частици от флуида.

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

Дивергенция в по-високи измерения

Макар че всички фигури и анимации досега показват двумерно векторно поле, всички дефиниции лесно се обобщават до повече от две измерения.

Опитай следното упражнение, за да затвърдиш знанията си по темата: Представи си тримерно векторно поле с неговите източници, изтичания и точки с нулева дивергенция.

Пример 1: Пресмятане и тълкуване на дивергенцията

Задача: Дадено е следното векторно поле:

\begin{array}{r} \vec{v} (x; y) = (x^{2} - y^{2}) \hat{i} + 2 x y \hat{j} \end{array}

Да се пресметне неговата дивергенция и да се определи вида на точката

(1; 2)

- източник или изтичане.

Стъпка 1: Пресмятане на дивергенцията.

$\nabla \cdot \vec{v} =$ ‍

Стъпка 2: Заместване на

(1; 2)

$\nabla \cdot \vec{v} (1; 2) =$ ‍

Стъпка 3: Тълкуване. Източник или изтичане е точката

(1; 2)

Избери един отговор:
(Избор А)
Източник
(Избор Б)
Изтичане
(Избор В)
Нито едното

Объркващи понятия

Обърни внимание, че положителна дивергенция означава отрицателна промяна в плътността на флуида, и съответно отрицателна дивергенция означава положителна промяна в плътността. Объркващо, а? Понятията "източник" и "изтичане" са като че ли по-естествени, тъй като тълкуваме точките с положителна дивергенция като източници на допълнително количество флуид, а точките с отрицателна - като поглъщащи флуида.

Лично аз често се обръщам към примера, в който

f

е тъждествената функция - функцията, съпоставяща на всяка точка

(x; y)

вектора

[\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}]

. Всички елементи на векторното поле, определено от

f

, сочат в посока, противоположна на началото на координатната система (виждаш ли защо?). Дивергенцията

\nabla \cdot f

на това поле е

\begin{array}{r} \nabla \cdot f = \frac{\partial}{\partial x} (x) + \frac{\partial}{\partial y} (y) = 1 + 1 = 2 \end{array}

Така че всеки път, когато се зачудя "хм, положителна или отрицателна дивергенция означава разреждане на флуида", се обръщам към тази тривиална функция и си казвам "а, да, положителна дивергенция означава разширяващо се векторно поле".

Допълнителен материал

В следващата статия ще разберем каква точно е връзката между дивергенция и поток на флуид.

По-нататък, след като се запознаем с повърхностните интеграли, ще се върнем към дивергенцията и нейната формална дефиниция.

Обобщение

Тълкуваме векторното поле като поток на флуид.
Дивергенцията е оператор, който превръща векторна функция, описваща векторно поле, в скаларна функция, описваща промяната в плътността му във всяка точка.
Формулата за дивергенция е
$\begin{array}{r} div \vec{v} = \nabla \cdot \vec{v} = \frac{\partial v_{1}}{\partial x} + \frac{\partial v_{2}}{\partial y} + \dots \end{array}$ ‍
където $v_{1}$ ‍, $v_{2}$ ‍, $\dots$ ‍ са компонентите на вектора $\vec{v}$ ‍.

Имай предвид, че дивергенцията в някои случаи няма нищо общо с флуиди. Както споменахме и по-рано, това понятие намира приложение и в областта на електродинамиката. Въпреки това тълкуването на дивергенцията като свойство на флуиден поток е изключително полезно при изграждането на интуиция зад сухата формула.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.