Връзка между градиента и графиката на функцията

В това видео искам да ти покажа какво представлява градиентът, разгледан в контекста на графиката на една функция. В последното видео дефинирахме градиента – само да покажа една функция ето тук. Функцията, чиято графика виждаме, е х на квадрат плюс у на квадрат, f от (х, у) равно на х на квадрат плюс у на квадрат. Имаме двумерно дефиниционно множество, което можем да си представим като една равнина ху, а стойността на функцията е едномерна, т.е. тя е просто височината на графиката над тази равнина. В последното видео дадох определение за градиент, който е един определен оператор. Оператор означава, че когато му подадем една функция, получаваме друга функция, като го обозначаваме с един обърнат триъгълник. Получаваме друга функция, която също е функция от х и у, но сега нейните стойности са вектори. Двата компонента на изходната стойност на функцията са частни производни – частната производна по отношение на х и частната производна по отношение на у. За тази функция ние всъщност намерихме това в предишно видео. Да видим. Първо намираме производната по отношение на х, значи поглеждаме х и казваме, че приемаме х като променлива. Намираме производната, която е 2 по х. у компонентът приемаме за константа, тъй като диференцираме по отношение на х. Производната на една константа е нула. След това намираме частната производна по отношение на у, сега нещата са наобратно. Компонентът х приемаме за константа, чиято производна е нула. После разглеждаме у компонента като променлива и неговата производна е 2 по у. Аргументът на крайната функция, която получаваме, градиентът, съдържа две променливи, х и у, това е някаква точка в тази равнина, а изходната му стойност е вектор, което хубаво може да се визуализира с векторно поле. Имаме отделно видео за векторните полета, ако имаш нужда от повече информация за тях. Сега искам да помислиш, може даже да поставиш видеото на пауза, и да отгатнеш или да помислиш как ще изглежда това векторно поле. Ще ти покажа след малко, но векторното поле ще бъде такова, в което на входа имаме х и у, а на изхода имаме 2х и 2у. Добре, предполагам, че помисли, успя ли да си представиш как ще изглежда това векторно поле? Ето това е полето, което получаваме. Това са множество вектори, които сочат навън от началото на координатната система. Основната причина за това е, че ако вземеш произволна входна точка, която има координати (х; у), векторът, който съответства на тази входна точка, ако той започва ето тук в началото, този вектор ще изглежда по този начин, но изходният вектор ще има два пъти по-голяма дължина от него. Когато отнесем този вектор към оригиналната точка, получаваме вектор, който е два пъти по-дълъг от първоначалния, но е насочен в същата посока, което означава, че се отдалечава от началото на координатната система. Аз го начертах лошо. Когато чертаем векторни полета, всъщност не чертаем в мащаб. Намаляваме дължините на векторите, така че чертежът да не става претрупан. Ето защо всички вектори тук изглеждат с еднаква дължина, а цветът им показва колко са дълги в действителност. Можем да разглеждаме тези червени вектори като много дълги, а сините като много къси. Какво общо има всичко това с графиката на функцията? Обяснението, всъщност, е много интересно. Представи си, че просто се движиш по тази графика, например си турист и това е карта на планината. Ако си направиш снимка във всяка точка от тази графика – какъв цвят трябва да използвам тук? Да кажем, че се намираш в ето тази точка и си мислиш: "В каква посока трябва да тръгна, за да мога да се изкача най-бързо на по-голяма надморска височина?" Искаш да се качиш нависоко колкото се може по-бързо. От тази точка можеш да тръгнеш в тази посока, която изглежда право нагоре. Със сигурност няма да тръгнеш настрани или надолу, за да не слезеш на по-малка височина. Така че можеш да тръгнеш право нагоре. Ако проектираш тази точка в пространството на входните данни, това е точката, над която се намираш, този вектор, който ще ти позволи да се изкачиш нагоре по-бързо, това е посоката, която трябва да следваш. На тази графика това е съвсем логично, това е директно отдалечаване от началото на координатната система, защото тук – ще изтрия това – защото след като започнем да се движим, то няма да се движи. Ако погледнеш към нещата от най-отдолу, за всяка точка, в която се намираш в планината на графиката тук и когато искаш да се изкачиш максимално бързо, трябва просто да се отдалечиш директно от центъра, защото тогава изкачването е най-стръмно. . Всички тези вектори също се отдалечават от началото на координатната система. Така че хората често казват, че градиентът сочи по посока на най-стръмното изкачване, което може би трябва да запиша. Посоката на най-стръмното изкачване. Да видим как изглежда това в контекста на друг пример. Показвам ти друга графика и нейното векторно поле. На тази графика всички стойности са отрицателни, всички са под равнината ху, и имаме също така тези два отделни върха. Начертах предварително и градиентното поле отгоре, което е терминът, който се използва за векторно поле, което показва градиента. Ще ти направи впечатление, че близо до върховете всички вектори сочат един вид в посока нагоре, един вид ти подсказват по някакъв начин да изкачиш този връх. Ако разгледаш наоколо, ще забележиш, че тук най-отгоре това изглежда като точка, от която векторът, който излиза, е един вид малко срамежлив спрямо този връх. А всички ти казват да се изкачиш на върха. Всички вектори ти казват в каква посока да тръгнеш, за да увеличиш надморската си височина на графиката най-бързо. Това е наклонът на най-стръмното изкачване. Ето това означава посоката, но какво означава дължината? Ако разгледаш тези червени вектори ето тук – разгледай тези червени вектори. Червеното означава, че те трябва да имат много голяма дължина. На самата графика, точките от графиката, на които те съответстват, са много извън екрана, който виждаме, защото тук графиката става много стръмна, стойностите много бързо стават много отрицателни. Точките, на които тези вектори съответстват, се намират при много, много стръмни наклони, докато сините вектори ето тук – досещаш се – там наклонът е сравнително малък. Но в момента, в който достигнем до върха, нещата започват да стават по-плоски. Дължината на градиентния вектор всъщност ни показва стръмността на посоката на най-стръмното изкачване. Тук искам да подчертая, че всъщност не е нужно веднага да го разглеждаме – защо просто като обединим частните производни в един вектор, това ще ни даде посоката на най-стръмното изкачване. Това определено се случва. Ще обсъдим това и се надявам, че тогава тази връзка ще ти стане съвсем ясна, освен ако не си някакъв гений на логиката, защото не мисля, че тази връзка е очевидна от пръв поглед. Но ще я видиш, когато му дойде времето. За целта ще ни послужат така наречените производни по направление. До скоро!