Изчисляване на матрица на Якоби

Само да си припомним докъде стигнахме – дадена ни е тази толкова нелинейна трансформация и ние показахме, че ако "разгледаме под лупа" околността на една точка по време на трансформацията, нещата много приличат на линейна трансформация, и стигнахме до извода, че можем да определим каква е тази линейна трансформация като намерим частните производни на дадената ни функция, която е дефинирана тук, а после можем да ги използваме и да конструираме една матрица. Сега искам просто да довършим това, което разглеждахме, като пресметнем тези частни производни. Първо ще напиша отново функцията на екрана, за да я виждаме, докато работим. Първият компонент е х плюс синус от у. После имаме у плюс синус от х като втори компонент. Сега искам просто да намерим всички частни производни, за да видим как изглежда тази матрица. Ще изтрия това и след това ще направя отново матрицата. Горният ляв елемент е частната производна относно х на първия компонент. Поглеждаме първия компонент и неговата частна производна относно х е просто 1, тъй като е 1 по х плюс нещо, което не съдържа х. След това отдолу записваме частната производна на втория компонент относно х. Това у тук е константа, значи нищо не се случва, а производната на синус от х е равна на косинус от х. После тук отгоре имаме частната производна относно у на първия компонент – ето този тук горе отдясно – частната производна на х относно у е нула, а частната производна на синус от у относно у е равна на косинус от у. Накрая следва частната производна на втория компонент вдясно долу относно у, който изглежда е 1, защото имаме 1 по у плюс някаква константа. Това е общата матрица на Якоби като функция от х и от у. Но ако искаме да разберем какво се случва в околността на тази конкретна точка, с която започнахме, която записах ето тук, това е точката (–2; 1), затова ще заместя тези стойности. Заместваме минус две и едно. Сега просто още веднъж ще препиша точката, за да помним, че заместваме с минус две и едно – разглежданата точка. Матрицата като функция, един вид тази матрична функция, става 1, после имаме косинус, но заместваме х с минус 2, косинус от минус 2. Ако ти е интересно, това е приблизително равно на – изчислих го предварително – това е минус 0,42, ако искаш в матрицата да имаме само числа. Горе вдясно отново имаме косинус, но сега заместваме стойността на у. Косинус от едно е приблизително равно на 0,54. После долу вдясно имаме просто константа – едно. Това е матрицата, която съдържа само числа. И само за да проверим логически, можем да разгледаме линейната трансформация, която се определя от матрицата. Обърни внимание, че първият базисен вектор, това, в което се изобразява той, е този вектор ето тук, който изглежда има координати 1 и минус 0,42, нали? Той има ето този компонент вдясно, който е почти със същата дължина, колкото първоначалния. После този компонент отдолу е напълно възможно да е минус 0,42. После, по същия начин, този вторият стълб ни показва какво се случва с втория базисен вектор, чийто образ е този вектор, който изглежда ето така. Отново, у компонентът е точно толкова дълъг, колкото в началото, дължината му е единица. Десният компонент е около половината от това, което всъщност виждаме и на чертежа, но това го изчислихме. Пак повтарям – това е много лесно. Просто обединяваме всички възможни частни производни и ги подреждаме в една такава матрица. Това е всичко. До скоро!