Хармонични функции

Привет! Искам да разгледаме т.нар. хармонични функции. Хармоничните функции са много особен вид функции на много променливи, те се дефинират чрез лапласиан, който разглеждахме в последните няколко видео клипа. Операторът на Лаплас означаваме с този обърнат нагоре десен триъгълник (делта). и този оператор се използва с функции на много променливи. На входа може да има две променливи, може да има и 100 променливи, просто някаква функция на много променливи със скаларна изходна стойност. Както разгледахме в предишните видео клипове, само искам да припомня, операторът на Лаплас се дефинира като дивергенцията на градиента на функцията f, което е подобно на втора производна. Това е един начин да разширим понятието втора производна в много измерения. Хармоничната функция е функция, за която лапласианът е равен на нула. Равен е на нула за всяка възможна входна стойност. Понякога хората го записват така, че да могат да го различават, като правят един троен знак за равенство, което казва "равно на нула". Това е просто един начин да се подчертае, че това е равно на нула за всички възможни входни стойности. Това, разбира се, не е уравнение, което ще решаваме, за да намерим конкретни стойности на х и на у, когато е равно на нула. Това е едно твърдение за функцията. За да го осмислим, понеже това е един вид – досещаш се, ние тъкмо започваме да учим за лапласиан, и е трудно веднага да видим логиката на това твърдение, затова нека да помислим за неговия смисъл за една функция на една променлива. Ако имаме някаква функция на една променлива х, когато разгледаме втората ѝ производна, която е един вид аналог на лапласиан, какво означава, ако втората производна е равна на нула? Можем да интегрираме, можем да намерим примитивната функция, и да кажем, че това означава, че първата производна на f, да видим – кои функции имат производна, равна на нула? Единствените такива функции са константите, така че 'c' тук означава просто константа. Ако отново интегрираме, за да видим коя е функцията, щом производната е константа, тогава функцията е тази константа по х, плюс някаква друга константа k. Това означава, че функцията е линейна. Ако си представим графиката на функцията, тя ще бъде някаква права, която преминава тук ето така. Това е логично, ако разгледаме геометричната интерпретация на втората производна. Първо, ако разгледаме съвсем произволна функция, знаем, че една произволна функция, на която съответства някаква такава крива, има отрицателна втора производна, когато графиката се извива надолу. Точно ето тук в тази точка втората производна не е нула, а е отрицателна. Ето тук, където графиката се извива нагоре и прилича на купа, тук втората производна е положителна. Така че, ако кажем, че тази втора производна винаги е равна на нула, тогава графиката на функцията не се извива нагоре или надолу в никоя своя точка, така че нямаме никакви извивки, в каквато и посока започнем да се движим, графиката не се отклонява от нея, а е винаги права линия, ето така. Но след като пренесем тази идея за функции на много променливи, нещата започват да стават по-интересни, отколкото просто за една права линия. Например, ето тук имам графика на функция на много променливи, която е хармонична функция. Графиката, която разглеждаме, е на функция на две променливи, по-точно на функцията f от (х;у) равно на 'е' на степен х, умножено по синус от у. Докато разглеждаме тази графика, се надявам, че ти се струва малко по-логично защо това е графиката на функция като е на степен х по синус от у. Когато се движим по направление на положителната посока на оста х, това тук е положителната посока на оста х, имаме тази експоненциална графика, която съответства на факта, че тук имаме 'е' на степен х, така че, когато х нараства, изглежда като 'е' на степен х и после умножаваме по нещо, което е функция на у. Ако у е константа, това изглежда просто като някаква константа. Но обърни внимание, че ако това е отрицателна константа, ако синус от у в някаква точка е отрицателно, тогава цялата експоненциална функция по същество слиза надолу. Изглежда като минус 'е' на степен х. Но ако си представим, че се движим по направление на оста у, вместо само по оста х, ако си представим, че входните стойности се променят... да видим какво може да бъде – може да е по този начин, положителната посока на оста у, тогава получаваме тази синусоидална форма, което е логично, защото имаме това синус от у. И в зависимост от това колко е 'е' на степен х, амплитудата на тази синусоидна вълна ще бъде – досещаш се – тя става много голяма в някаква точка ето тук. Графиката се издига нагоре и слиза надолу. Но ако 'е' на степен х е наистина много малко, тогава едва се забелязва как леко се отклонява ето тук. Изглежда почти плоско. Това е графиката, която разглеждаме. И сега аз ти казвам, аз правя твърдението, че това е хармонична функция. Това е функция, за която лапласиан е равен на нула. Това означава, че когато идваме ето тук и изчисляваме лапласиан от f, което, само да ти припомня, това е различна формула, сега разглеждаме дивергенцията на градиента, което се оказва съвсем същото като това да кажем, че втората производна на тази функция по отношение на х, това е първата входна променлива, когато съберем това, да видим – втората производна по отношение на х, прибавяме това към втората производна на нашата функция, по отношение на втората променлива. Продължаваме по същия начин за различните променливи, които имаме, но в случая имаме функция само на две променливи, така че го правим два пъти. Твърдението е, че това винаги ще е равно на нула. Така че мога да кажа, това един вид е еквивалентно, за всяка възможна входна стойност, това е равно на нула. Ще оставя това за теб да го изчислиш. Това е добро упражнение, за да придобиеш представа как се изчислява лапласиан. Аз искам да изтълкувам какво всъщност означава това. Защото, когато заместим, можеш да видиш, че за всички възможни входни стойности това е равно на нула. Но какво означава това? Когато имахме функция на една променлива, след като разгледахме геометричната интерпретация на втората производна като изпъкналост на графиката, един вид беше логично, че когато го приравним на нула, ще получим права линия. Но, очевидно, тук случаят не е такъв. Това е много по-сложно от една права. За този случай искам да ти дам един по-различне начин, по който да разсъждаваш за втората производна на функция на една променлива. От една страна, можеш да разсъждаваш така: да кажем, че втората производна е отрицателна, когато имаме тази изпъкналост, когато един вид кривата се извива надолу. Друг начин, по който можеш да разсъждаваш за това, е да кажеш, че всички съседни точки на тази точка, ако се придвижим малко надялво, входната стойност е ето тук, и ако се преместим малко наляво, съседната точка е по-малка от тази, а ако отидем малко надясно, съседната точка отново е по-малка. Това е все едно да кажем, че като разгледаме съседните точки на тази входна точка, ако твърдението ни е, че f прим прим в някаква конкретна точка, например в точката х с индекс 0, е по-малка от нула, това означава, че всички съседи на х0 всички съседи на тази точка са по-малки от нея. Ако направим същото нещо в точка с положителна изпъкналост, където имаме нещо като усмивка, виждаме, че съседът отдясно има по-голяма стойност, както и съседът отляво има по-голяма стойност. Значи в точка, в която втората производна вместо да е по-малка от нула, е по-голяма от нула, означава, че съседните точки са по-големите от разглежданата точка. Дори ако разгледаме случай, който не е така идеален като този, когато имаме някакъв локален минимум, например ако разглеждаме една графика – да кажем, че разглеждаме графиката на функция в точка, в която тя е вдлъбната. Графиката е вдлъбната, но тя не е така идеализирана, както когато имаме някакъв локален минимум. Вместо това разглеждаме някаква точка като тази, в която виждаме, че съседът отляво има някаква стойност, която всъщност е по-малка от интересуващата ни стойност, така че изглежда съседът е по-малък от нашата точка, но ако се преместим със същото разстояние надясно, там съседът е по-голям. Тогава можем да кажем, че средно – средната стойност на двете съседни точки – съседът отдясно доминира над съседа отляво, и тогава средната стойност на съседните точка е по-голяма от самата точка. Да кажем, че входната стойност тук е х с инедкс 0, това означава, че втората производна на функцията в тази точка е по-голяма от нула. Значи имаме положителна изпъкналост, което също така можем да разглеждаме като мярка, средно, за това, че съседните точки са по-големи от нашата точка, или по-малки от нея? Причината, да казвам това, е, че тази представа, че един вид сравняваме съседните точки с интересуващата ни точка, е много добър начин да схванем лапласиан в света на функциите на много променливи. Ако разглеждаме една такава функция, да кажем, че разглеждаме графиката отгоре. Тук имаме равнината ху, нали? Това тук е оста х, а това тук е оста у. Да кажем, че търсим някаква определена входна стойност. Когато използваме лапласиан, започваме да разглеждаме един кръг от точки около интересуващата ни точка, всичките ѝ съседи, и всъщност си представи една идеална окръжност, така че всички точки са на определено разстояние от нашата точка. Въпросът, който си задаваме с лапласиана, е: "Дали тези съседни точки, средно, са по-големи или са по-малки от първоначалната точка?" И това е по същество начинът, по който аз представих лапласиана в първото видео, в което разгледахме какво представлява лапласиан, задаваме въпроса дали точките около дадена точка са по-големи или са по-малки от нея. И ако разглеждаме точка, в която лапласианът на нашата функция е по-голям от нула в някаква точка, това означава, че всички съседни точки, средно, са по-големи от нашата точка. Докато ако разглеждаме точка, в която лапласианът от нашата точка е по-малък от нула, тогава всички съседни точки, средно, са по-малки от нашата точка. По-конкретно, досещаш се, ако лапласианът е по-малък от нула, тогава интересуващата ни точка изглежда е локален максимум. Или ако лапласианът е по-голям от нула, тогава тази точка изглежда е локален минимум, защото всички съседни точки са по-големи от нашата точка. При хармоничните фунции, обаче, това, което ги прави специални, е, че ако разглеждаме стойността на самата функция, или стойността на лапласиана на функцията във всяка възможна точка, той е равен на нула. Няма значение коя точка избираме, всички нейни съседи ще бъдат, средно, със същата стойност като тази точка. Значи височината на графиката на тези съседи, средно, ще бъде еднаква. Следователно, ако разгледаме графиката, това трябва да означава... да кажем, че разглеждаме някаква входна точка, а това е съответната ѝ изходна стойност. Ако разгледаме всички съседни точки, кръгът от съседните точки, ако един вид ги прожектираме върху графиката, това означава, че тази височина, че всички точки от тази окръжност, средно са същите като тази. Няма значение коя част от графиката разглеждаме, те всички един вид се усредняват. Повтарям отново, препоръчвам ти да разгледаш тази функция, да изчислиш лапласиан и да се убедиш, че той е равен на нула. Но интересното е, че не е съвсем ясно, като просто разглеждаме това 'е' на степен х, по синус от у – самата формула на функцията, че средната стойност на входните стойности, които един вид образуват окръжност около дадена точка, че тази средна стойност винаги ще е равна на стойността на точката в центъра на окръжността. Това не е лесно да се определи, само като разглеждаме тази формула. Но с някои не особено трудни изчисления можеш да достигнеш до този извод, който е много универсален. Това се среща много често във физиката. Например температурата е пример за нещо, което можем да опишем как температурата в дадена точка в едно помещение е свързана със средната стойност на температурата във всички останали точки около нея. Това се среща в много случаи, когато имаме някаква точка във физическото пространство и околността на тази точка, може би нещо като скорост, с която някакво свойство се променя, съответства на средната стойност в точките около разглежданата точка. Така че винаги, когато имаме един вид връзка между съседните точки и интересуващата ни точка, тогава се използва лапласиан, а хармоничните функции много често съответстват на някакъв вид равновесие, някаква стабилност. Няма да се задълбочавам повече засега. По същество тук навлизаме в темата за частните диференциални уравнения. Но поне в контекста на анализа на функции на много променливи исках да ти покажа как може да се тълкува този оператор на Лаплас, как разглеждането на физични и геометрични свойства е свързано с функцията. Приключвам тук. До скоро.