Основно съдържание

Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 2

Урок 3: Частни производни и градиент (статии)

Производни по направление (за напреднали)

По-задълбочен поглед върху формулата за производна по направление и отговор на въпроса защо градиентът е равен на най-стръмния наклон в дадена точка.

Преговор:

Този урок е за тези от вас, които искат да научат повече за производната по направление.

Дефиниция на производна по направление

Точната дефиниция на производна по направление, освен по-задълбочени знания по темата, ни дава възможност да разпознаем кога тази производна съществува, кога може да даде лъжлива информация и т.н.

Формалната дефиниция на обикновена частна производна, например по

x

, изглежда така:

\frac{\partial f}{\partial x} (x_{0}; y_{0}) = lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + h; y_{0}) - f (x_{0}; y_{0})}{h}

Връзката между означението

\frac{\partial f}{\partial x}

и формалния израз отдясно е следната:

Символ	Значение	Формална дефиниция
$\partial x$ ‍	Малка стъпка в посока $x$ ‍.	Променлива $h$ ‍, клоняща към $0$ ‍, която ще прибавим към първия аргумент на функцията.
$\partial f$ ‍	Промяната в стойността на $f$ ‍ при дадената стъпка.	Разликата между $f (x_{0} + h; y_{0})$ ‍ и $f (x_{0}; y_{0})$ ‍, когато $h \to 0$ ‍.

Можем да запишем горните изрази с помощта на вектори, където например точката

(x_{0}; y_{0})

приемаме като един двумерен вектор

\begin{array}{r} x_{0} = [\begin{array}{c} x_{0} \\ y_{0} \end{array}] \end{array}

x_{0}

(удебелено) означава векторна величина. Избягваме означението

x

за всички аргументи на функцията, тъй като вече сме използвали буквата

x

за първата координата.

Вместо да запишем "изместените" аргументи като

(x_{0} + h; y_{0})

, вече можем да ги запишем като

x_{0} + h \hat{i}

, където

\hat{i}

е единичният вектор в посока

x

\begin{array}{r} \frac{\partial f}{\partial x} (x_{0}) = lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + h \hat{i}) - f (x_{0})}{h} \end{array}

Това записване ни подсказва как можем да обобщим дефиницията на частна производна по

x

до производна по дадено направление

\vec{v}

\nabla_{\vec{v}} f (x_{0}) = lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + h \vec{v}) - f (x_{0})}{h}

Тук добавяме

h \vec{v}

към разглежданата отправна точка и отново променливата

h \to 0

формализира представата ни за малка стъпка в посока

\vec{v}

Връзка между теорията и практиката

На практика пресмятаме производната по направление като скаларното произведение на градиента

\nabla f

с вектора

\vec{v}

. Например при функции на две променливи получаваме:

\begin{aligned} \nabla_{\vec{v}} f (x; y) & = \nabla f \cdot \vec{v} \\ = [\begin{array}{c} \frac{\partial f}{\partial x} \\ \frac{\partial f}{\partial y} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} v_{1} \\ v_{2} \end{array}] \\ = v_{1} \frac{\partial f}{\partial x} (x; y) + v_{2} \frac{\partial f}{\partial y} (x; y) \end{aligned}

където

v_{1}

v_{2}

са двете компоненти на вектора

\vec{v}

\begin{array}{r} \vec{v} = [\begin{array}{c} v_{1} \\ v_{2} \end{array}] \end{array}

Какво общо има тази формула с формалната дефиниция на производна по направление?

Разбиване на направлението на две компоненти

При пресмятане на

\nabla_{v} f

като скаларно произведение ние разглеждаме изместването в посока

v

като две измествания - едно в посока

x

и едно в посока

y

По-точно, извършваме следните няколко стъпки:

Започваме с отправната точка $(x_{0}; y_{0})$ ‍.
Избираме малка стойност на параметъра $h$ ‍.
Добавяме $h v_{1}$ ‍ към $x_{0}$ ‍, тоест разглеждаме точката $(x_{0} + h v_{1}; y_{0})$ ‍. От дефиницията на частна производна имаме съответната промяна в стойността на функцията:

\begin{array}{r} h v_{1} (\frac{\partial f}{\partial x} (x_{0}; y_{0})) \end{array}

Сега добавяме $h v_{2}$ ‍ към $y_{0}$ ‍, за да се преместим над/под точката $(x_{0} + h v_{1}; y_{0} + h v_{2})$ ‍. Получената промуна на $f$ ‍ сега е

\begin{array}{r} h v_{2} (\frac{\partial f}{\partial y} (x_{0} + h v_{1}; y_{0})) \end{array}

Събираме двата резултата от стъпки

3

4

, за да получим общата промяна в стойността на функцията при изместване на аргументите от

(x_{0}; y_{0})

към

(x_{0} + h v_{1}; y_{0} + h v_{2})

\begin{array}{r} h v_{1} (\frac{\partial f}{\partial x} (x_{0}; y_{0})) + h v_{2} (\frac{\partial f}{\partial y} (x_{0} + h v_{1}; y_{0})) \end{array}

Това вече прилича на познатия ни израз за промяната в стойността

f

при изместване на аргументите от

h \vec{v}

\begin{aligned} h \nabla_{\vec{v}} f (x_{0}; y_{0}) \\ = h \vec{v} \cdot \nabla f (x_{0}; y_{0}) \\ = h v_{1} \frac{\partial f}{\partial x} (x_{0}; y_{0}) + h v_{2} \frac{\partial f}{\partial y} (x_{0}; y_{0}) \end{aligned}

Разликата между двата израза е в частната производна по

y

, която в единия случай пресмятаме в точката

(x_{0} + h v_{1}, y_{0})

, а в другия случай - в отправната точка

(x_{0}; y_{0})

Тъй като разглеждаме много малки стойности на

h

, тоест границата при

h \to 0

, стойността на израза

\frac{\partial f}{\partial y}

в точката

(x_{0} + h v_{1}; y_{0})

е почти равна на стойността в точката

(x_{0}; y_{0})

. Освен това, когато

h

клони към

0

, разликата между тези две стойности на частната производна също клони към нула, при условие че функцията

f

е непрекъсната.

Защо градиентът показва посоката на най-стръмно изкачване?

Тъй като вече знаем достатъчно за производни по направление, можем да разберем защо градиентът сочи към посоката на най-стръмно изкачване.

По-точно, търсим отговора на следния въпрос.

Дефиниции:

Нека $f$ ‍ е скаларна функция на много променливи, например $f (x; y) = x^{2} + y^{2}$ ‍.
Нека $(x_{0}; y_{0})$ ‍ е дадена отправна точка
Разглеждаме всички възможни посоки от тази отправна точка, тоест всички единични вектори $\hat{u}$ ‍ с размерност равна на размерността на дефиниционната област на $f$ ‍ (в случая 2).

Въпрос (неформален): При дадена отправна точка

(x_{0}; y_{0})

, в коя посока стойността на

f

се увеличава най-бързо?

Въпрос (формален): При кой единичен вектор

\hat{u}

стойността на производната по направление

\hat{u}

достига максимума си?

\begin{array}{r} \nabla_{\hat{u}} f (x_{0}; y_{0}) = \underset{търсим максимум на този израз}{\underset{⏟}{\hat{u} \cdot \nabla f (x_{0}; y_{0})}} \end{array}

От неравенството на триъгълника имаме, че този максимум се достига, когато единичният вектор е успореден на

\nabla f (x_{0}; y_{0})

Получихме, че градиентът сочи в посоката на най-стръмно изкачване, но това не е факт за себе си, а по-скоро следствие от факта, че производната по направление е равна на скаларното произведение на направлението с вектора

\nabla f

Окей, следва една задача, която не е директно свързана с тази статия, но добре илюстрира защо скаларното произведение е максимално, когато два вектора са колинеарни. Освен това е интересно приложение на математическото мислене в ежедневна ситуация.

Дадена е пачка банкноти по

100

долара, още една с банкноти по

20

долара и една от по

2

долара. Търсим три числа

A

B

C

, такива че

A^{2} + B^{2} + C^{2} = 10 404

Ще вземем

A

банкноти по

100

долара,

B

банкноти по

20

C

банкноти по

2

долара.

Естественият въпрос тук е за кои стойности на

A

B

C

общата сума е максимална и на колко е равен този максимум?

Изглежда, че трябва да вземем максималният възможен брой банкноти от

100

долара. Нека тогава

B = C = 0

, и нека

\begin{array}{r} A = \sqrt{10 404} = 102 \end{array}

Проблемът тук е, че всяка допълнителна банкнота от

100

долара увеличава сумата

A^{2} + B^{2} + C^{2}

все повече и повече, когато

A

нараства, така че остава все по-малко и по-малко "стойност за парите", така да се каже. Например, ако вече сме взели сто банкноти по

100

долара, добавянето на още една банкнота увеличава сумата с

201

\begin{aligned} 101^{2} - 100^{2} & = 10 201 - 10 000 \\ = 201 \end{aligned}

Така че ще е по-добре да се вземат

5

банкноти по двадесет долара, което ще увеличи сумата само с

25

\begin{array}{r} 5^{2} - 0^{2} = 25 \end{array}

На практика, ако вземеш двадесет банкноти по

20

долара, сумата на квадратите все още е по-малка от ограничението,

\begin{aligned} A^{2} + B^{2} + C^{2} & = 100^{2} + 20^{2} + 0^{2} \\ = 10 400 \\ < 10 404 \end{aligned}

и ще имаш

10 400

долара, което е по-добре от

102 \times 100 = 10 200

долара, което получаваш, когато алчно грабваш максимално възможния брой от банкноти по

100

долара.

Най-добрият избор е да вземеш ст банкноти по

100

долара, двадесет банкноти по

20

долара и две банкноти по

2

долара.

Препоръчвам ти да направиш самостоятелна проверка. Като подсказка – представи си

A^{2} + B^{2} + C^{2}

като "брой точки", които имаш, и помисли как можеш да максимизираш общия брой "долари за точка" за всеки нов избор.

Тази задача е аналогична на намиране на посоката на най-стръмното изкачване, тъй като търсим максимума на скаларното произведение

\begin{array}{r} [\begin{array}{c} 100 \\ 20 \\ 2 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} A \\ B \\ C \end{array}] = 100 A + 20 B + 2 C \end{array}

при дадено ограничение на израза

A^{2} + B^{2} + C^{2}

. По същия начин, когато търсим посоката на най-стръмно изкачване, търсим максимума на скаларното произведение

\begin{array}{r} \nabla f \cdot \hat{u} = u_{1} \frac{\partial f}{\partial x} + u_{2} \frac{\partial f}{\partial y} + u_{3} \frac{\partial f}{\partial z} \end{array}

при дадено ограничение

u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + u_{3}^{2} = 1

. В нашата задача оптималното решение е сто банкноти по

100

долара, двадесет банкноти по

20

долара и две по

2

долара. Аналогично, максимумът на

\nabla f \cdot \hat{u}

се достига, когато

$u_{1}$ ‍ е пропорционално на $\frac{\partial f}{\partial x}$ ‍,
$u_{2}$ ‍ е пропорционално на $\frac{\partial f}{\partial y}$ ‍,
$u_{3}$ ‍ е пропорционално на $\frac{\partial f}{\partial z}$ ‍.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.