Частна производна на параметрично зададена повърхнина, част 2

Привет! В предишното видео разглеждахме как можем да интерпретираме частната производна на една параметрична повърхнина, на функция, която има двумерни входни стойности и тримерни векторни изходни стойности. Обикновено визуализираме това като повърхнина в тримерно пространство. Всичко се свежда до това да разгледаме как един участък от равнината ts се изобразява в съответните изходни стойности. Признавам си отново, че един вид мамя с тази анимация, защото това тук не е равнината ts, нали? Това е равнината ху. Равнината ts трябва да е някакво отделно пространство ето тук, като си представяме, че движим това отделно пространство в три измерения. Но това е по-трудно за анимиране, така че няма да правя това, а вместо това ще поставя нещата в тази равнина ху. Разглеждаме един участък, в който стойностите на t и s са в интервал от 0 до 3. Както казах, частната производна по отношение на t – ако си представиш една права, която представя движението по направление на t – виждаме как тази права се изобразява, като всички точки се преместват в съответните им изходни стойности. Векторът на частната производна ни дава някакъв тангенциален вектор към кривата, която изобразява тази права, която съответства на движението в посока t. Колкото по-голяма е дължината на този вектор, толкова по-бързо е движението, толкова е по-чувствителна по отношение на малки промени в посока t. В посока s – да кажем, че разглеждаме частната производна по отношение на s. Ще изчистя това тук. Ще изчистя и това. Да се запитаме какво се случва, ако разгледаме производната по отношение на s. Да разгледаме частната производна на векторната функция v по отношение на s. Ще направим нещо много подобно. Интересува ни коя е правата, която съответства на движението по посока s. Начинът, по който я начертах – тя винаги ще бъде вертикална, защото сме в равнината ts, а оста t е перпендикулярна на оста s. В този случай тази права съответства на t = 1, нали? Приемаме, че t винаги е равно на 1, а стойностите на s се променят. Ако разгледаме как се изобразява тази права, когато се движим във входното пространство, как се изобразява в съответните точки на изходното пространство, тази линия ни показва какво се случва, когато се променя стойността s на входните аргументи. Тя започва да се извива по този начин, а след това се извива силно нагоре и се отдалечава ето тук. Тези линии на мрежата тук са много полезни, защото при всяко пресичане на тези линии на мрежата – едните линии представляват движението в посока t, а другите линии съответстват на движението в посока s. При частните производни разсъждаваме по подобен начин. Представяме си, че това частно s представлява... Да разгледаме отблизо ето тук. Това частно s можем да си представим, че представлява съвсем малко преместване в посока s, едно съвсем малко преместване, тази точка тук се измества съвсем мъничко. После съответната малка промяна, която се случва в изходното пространство – казваме, че ако имаме такава малка промяна на входната стойност, и ако разгледаме изходната стойност... може би тази малка стъпка съответства на промяна, която е три пъти по-голяма. Струва ми се, че нещата се уголемяват. Така че тази малка промяна може би се превръща в нещо, което пак е малко, но може би е три пъти по-голямо от нея. Това е един вектор. Сега разглеждаме този вектор като нашето частно v, мащабираме го с коефициент, който има размера на това частно s, нали? Резултатът, който получаваме, е тангенциален вектор, който не е чак толкова малък, но реално е един големичък тангенциален вектор. Той ще съответства на скоростта, с която се променя, но не просто една малка промяна, а скоростта, с която се променя s, защото това е движението в изходното пространство. Да го пресметнем за този случай, за да се упражним в изчисленията. Ако погледнем тук горе, тази стойност на t я разглеждахме като променлива, когато намирахме производната по отношение на t. Но сега тази стойност на t изглежда като константа, така че нейната производна е нула. После това минус s на квадрат, по отношение на s, неговата производна е минус 2 по s. s по t – s разглеждаме като променлива, t като константа, а производната е просто тази константа t. Отдолу имаме t по s на квадрат, t е константа, s е променлива, така че производната е 2 по t по s. После ето тук изваждаме, s е променлива, t на квадрат е константа, значи производната е равна на константата. Сега да заместим стойността (1; 1). Тази червена точка съответства на (1; 1). Да видим какво ще получим. s е равно на 1, това дава минус 2, t е равно на 1, така че това е 1, после 2 по 1 по 1 – ще го запиша. 2 по 1, по 1 минус 1 на квадрат, това е 2 минус 1, което дава 1. Ето какво можем да очакваме за тангенциалния вектор, вектора на частната производна, компонентът х ще е с отрицателен знак, компонентите у и z ще са положителни. Ако дойдем тук и разгледаме какво движение има действително на кривата, това е логично, нали? Защото, когато се движим по кривата, преместваме се наляво, така че компонентът х на частната производна трябва да е с отрицателен знак. Изкачваме се нагоре по отношение на у и можеш да видиш, че това движение наляво е един вид два пъти по-бързо от движението нагоре. Наклонът е по-голям в посока х. Когато разглеждаме компонентът z, тук по същество отиваме нагоре. Може би ще попиташ как разбираме в каква посока се движим, дали се движим насам, или всичко се движи в обратната посока. Ползата от анимацията е, че можем да кажем: "Когато s е в интервала от нула до три, това е посока на нарастване." Просто гледаш в каква посока се променят нещата. Тази посока на нарастване един вид съответства на движението на кривата в тази посока. Така че тангенциалният вектор е в обратната посока. Хубавото във връзка с това е, че два различни вектора на частната производна, които намерихме, за всеки от тях можем да кажем, че е тангенциален вектор към повърхнината, нали? Единият е частната производна по отношение на t, ето тук, който един вид отива в една посока, а другият един вид ти дава различно означание на това какъв може да е тангенциалният вектор към повърхнината. Може да си представиш и производна по направление, която комбинира тези по различен начин, и може да ти покаже много различни начини, по които можем да имаме вектор, който да е тангенциален към повърхнината. По-късно ще разгледаме т.нар. тангенциални равнини, ако искаме да покажем какво представлява една тангенциална равнина. Можеш да разглеждаш такава равнина, все едно е дефинирана чрез два различни вектора. Засега това е всичко, което трябва да знаеш, относно частните производни на параметричните повърхнини. В следващите няколко урока ще разгледаме какво представляват частните производни на векторните функции в други контексти, защото не винаги разглеждаме параметрични повърхнини и може би не винаги разглеждаме как кривата се движи. Но все пак ще разсъждаваме как една малка промяна на входа съответства на промяната на изхода на функцията, и какво е отношението между тези две промени. Приключвам с това и до скоро!