Дефиниция на частна производна

Разгледахме какво представлява частната производна, как се изчислява и как се тълкува по отношение на графиката на функцията. Сега искам да дам формално определение за частна производна. Частната производна – само да ти припомня – е свързана с функция, чийто аргумент съдържа много променливи – функция от х и у – но искам да подчертая, че такава функция може да съдържа и други променливи. Може да имаме 100 променливи в аргумента или друг подобен брой, и както в много други случаи, мисля, че ще ни бъде полезно да разгледаме аналогичната ситуация, когато имаме една променлива и да помислим как дефинираме производната, най-обикновената производна, когато имаме функция само на една променлива. Тази функция ще е съвсем проста, например f от х – не знам, нека да е функция като f от х равно на х на квадрат, и начинът, по който разглеждаме дефиницията на нейната производна, е да определим просто какво означават df и dx, а после да изведем определението. Вероятно си мислиш за графиката на тази функция. Тя вероятно е някаква крива, и когато я оценяваме в някаква точка, да кажем, че я оценяваме в точката а, тогава си представяме dx ето тук като съвсем малко преместване, една съвсем малка стъпчица на аргумента. Това е по посока на оста х. Взимаме координатата х, а после стойността на функцията, f от х е това, което представяме на оста у. Разглеждаме df като резултат от това съвсем малко преместване по х, разглеждаме съответната малка промяна на стойността на функцията. Когато формулираме определението, разглеждаме едно отношение, една обикновена дроб, която е df върху dx – ще си оставя място тук. Вероятно се досещаш защо, ако знаеш накъде ни води това – вместо dx, ще го означим с h. Вместо да представяме малкото преместване с dx, го означаваме с h, като аз не съм сигурен защо се използва точно h, но това е просто един вид променлива, която е много, много малка – може би всички останали букви от азбуката са били заети. Когато се запиташ какво имаме предвид под "съответната промяна на f", това означава да запишем как се променя стойността на функцията след тази малка промяна на аргумента? Когато разглеждаме аргумента, когато добавим тази малка стойност – плюс тази малка промяна h, каква е тогава разликата между стойността на функцията и първоначалната стойност на функцията в тази точка? Ето тази част отгоре по същество представлява нашето df. Това представлява df ето тук, но ние не го определяме за някаква конкретна стойност на h. Не разглеждаме някаква конкретна стъпчица. По принцип целта на математическия анализ е да разгледаме границата, когато h клони към нула. Това е в основата на идеята да използваме малка стъпчица или получената в резултат на нея малка промяна в стойността на функцията. Тук нямаме предвид конкретна стойност на това изменение. Разглеждаме границата, поради което можем да използваме формалното определение за граница, но направо те побиват тръпки, когато започнеш да го разписваш. В света на функциите на много променливи нещата са много подобни. Можем да направим почти същото нещо и когато разгледаме оригиналната функция и започнем да описваме формално тази зависимост, тогава разглеждаме всяка от тези променливи като типични. Това частно х – тук отново ще използваме буквата h, за да означим една малка промяна в посока х, и сега, ако се замислим колко е тази малка промяна – всъщност ще го начертая. Начинът, по който искам да го начертая, е – представи си цялото дефиниционно множество като – досещаш се – една равнина ху. Ако имаме повече променливи, това ще бъде пространство с повече измерения. Разглеждаме някаква точка, например можем да разгледаме точка (а; b), или може би е по-добре да дефинирам това – всъщност тук разглеждаме как ще дефинираме частната производна в една конкретна точка. Разглеждаме една конкретна точка, точката (а; b), и когато вземем една съвсем мъничка промяна на х, това е една съвсем малка промяна в посока х, едно мъничко преместване ето тук, тогава цялата функция, която изобразява това входно пространство, каквото и да е то, върху една цифрова ос. Това е нашето входно пространство, и ние си задаваме въпроса как тази малка промяна влияе на стойността на функцията. Тази диаграма съм я рисувал много пъти, този произволен скеч. Мисля, че това е един много добър модел, защото след като започнем да разглеждаме стойности на функцията в повече измерения или други подобни, това е много гъвкаво представяне, като можем да разглеждаме това като нашето частно х, като промяната в посока х, а това тук е получената в резултат на тази промяна на х промяна на стойността на функцията. Връщаме се тук горе и си задаваме въпроса: какво, всъщност, означава това? Ако h е малка промяна в стойността на х, тогава трябва да намерим координатата а на стойността на функцията плюс това малко h, което добавяме към тази стойност спрямо оста х, към този първи компонент, защото това е частната производна по отношение на х, а координатата b остава непроменена, нали? Това е все едно, че разглеждаме функцията в нова точка, и тогава трябва да попитаме: каква е разликата между тази точка и старата точка, чиито координати са просто (а; b)? Ето за това става въпрос. Това е формалното определение на частната производна, освен, най-важната част. Най-важната част, защото в математическия анализ не разглеждаме никаква конкретна стойност на h, а по същество... ще преместя това. Ще си направя малко място. Да. Ние по същество намираме границата ето тук, границата, когато h клони към нула, а това означава, че не разглеждаме някаква конкретна стойност на h. Всъщност това е h, като вземем предвид начина на записване тук, но то има произволна стойност за това частно х. Представи си, че тази стъпка става все по-малка и по-малка, а получената в резултат на това промяна става също все по-малка и по-малка. Сигурно се чудиш към какво клони отношението на тези две малки изменения. Това е частната производна по отношение на х. И само за да се упражним, нека да напиша каква е частната производна по отношение на у. Ще се отърва от част от тези неща, свързани с аналогията с едно измерение. Това повече не ми е нужно. Сега да разгледаме частната производна по отношение на друга променлива. Ако намираме частната производна на f по отношение на у, ще имаме малка промяна в другата посока, в посоката у, нали? Имаме малко преместване спрямо оста у, и сега вероятно си мислиш, че отново ще разделим нещо на тази малка промяна, като отново ще използваме същата променлива. Може би щеше да е по-ясно, ако напиша нещо като промяната на у, или да се върна тук горе и да напиша нещо от сорта на промяната на х, което се прави понякога, но сравнително по-рядко. Мисля, че всички предпочитат стандартна променлива за означаване на границата. Но този път, когато разглеждаме каква промяна следва за стойността на функцията – пак забравих да напиша, че разглеждаме конкретна точка с координати (а; b). Може би ще си направя тук още малко свободно място. Взимаме цялото това нещо и го делим на h, а каква е причинената промяна на f? Новата стойност на функцията f пак ще има първа координата а, а промяната се отразява на втората координата. Тя ще бъде (b + h). Добавяме тази малка стъпка към стойността на координата у, и както преди изваждаме – трябва ни разликата между новата стойност на у-координатата на функцията в тази точка и у-координатата на първоначалната точка. Причината да преместя това и да си освободя място е, че искам да намеря границата, когато това h клони към нула, като начинът, по който разсъждаваме е много подобен. Когато променим входната стойност, като добавим h към у-координатата, се издигаме нагоре. Пак напомням, че говорим за частна производна – това е формалното определение на частна производна. То много прилича на формалното определение за производна, но аз винаги си мисля за това какво имаме предвид, когато казваме частно у и частно f, това наименование е било въведено от Лайбниц, като той е имал предвид това на първо място. Не знам дали Лайбниц е въвел частните производни, но е въвел използването на означенията df и dx. Хубаво е това да не се забравя, особено когато въвеждаме нови понятия, нови видове производни на функции на много променливи, например производните по направление. Мисля, че това ни помага да разберем какво се случва в определени контексти. Супер. Ще се видим скоро.