Пример за производна на векторна функция

В това видео искам да направим две параметризации на една и съща крива, само че ще се движим по тази крива с различна скорост. Надявам се, че благодарение на това ще можем да разберем, или да видим логиката на това какво означава намирането на производната на една векторна функция. Да кажем, че първата параметризация, нека да имаме х от t равно на t. Да кажем, че функцията е у от t равно на t на квадрат. Това е изпълнено, когато t е по-голямо от или равно на 0, или по-малко от или равно на 2. Ако искам да представя това като векторна функция – ще запиша това като х1, означаваме това с у1, и мога да запиша векторната функция; мога да кажа, че r1... номерирам ги, защото това ще бъде различна версия на съвсем същата крива с малко по-различна параметризация – така че r1 едно от t, можем да кажем, че е х1 от t по i – това е единичният вектор i – така че казваме t по i плюс – това е просто х от t ето тук, или х1 от t; номерирам ги, защото по-късно ще имаме х2 t – плюс t на квадрат по j. Ако искам да начертая това, трябва да съм много внимателен, когато чертая, защото наистина искам да разбереш какво означава тук производната. Ще се опитам да чертая приблизително в мащаб. Да кажем, че това е едно, две, три, четири. Ще начертая оста х. Това е добре. Искам оста х да е приблизително в мащаб – едно, две. При t равно на 0 и х-координатата, и у-координатата са нули – това е просто нулевият вектор, така че това е тук, където t е равно на 0 – при t равно на 1 това ще бъде 1 по i – получаваме ето това – плюс 1 по j. 1 на квадрат е j, така че идваме ето тук. После при t равно на 2 идваме в 2 по i. Значи 2 по i – досещаш се, че 2 по i е този вектор ето тук – 2 по i плюс 4, защото 2 на квадрат е 4, значи плюс 4 по j. Когато съберем тези два вектора начало към край, тогава получаваме вектор, чиято крайна точка е ето тук. Този вектор ще изглежда приблизително така. Това е – само да поясна какво получаваме – това е r1 от 2. Това е r1 от 0. Това е r1 от 1. Долната крива е траекторията, която изглежда по следния начин: това е една парабола. Значи пътят ще изглежда ето така. Това е моята първа параметризация на кривата. Но искам да го начертая малко по-внимателно. Искам да махна всички тези стрелки, просто защото искам да имам чист и ясен чертеж. Значи това е една парабола. Ще махна и другата точка, защото не я направих на точното място, където трябва да бъде, тя трябва да е ето тук. Моята парабола, или част от парабола, ще изглежда ето така. Добре. Това е първата параметризация на кривата. Сега ще направя съвсем същата крива, но с една съвсем малка разлика. Ще използвам различни цветове. Нека х2 от t да е равно на 2 по t. у2 от t да кажем, че е равно на 2 по t, на квадрат. Можем да напишем това по различен начин като 4 по t^2, просто повдигаме на квадрат и двата множителя. Но сега вместо да отидем от t равно на 0 в t равно на 2, сега ще отидем от t равно на 0 в t равно на 1. Обаче ще видим, че и в този случай ще изминем съвсем същият път. Втората ни векторна функция, r2 от t, е равна на 2 по t по i плюс... или 2 по t, цялото на квадрат, 4 по t^2 по j. Ако начертая това ето тук, това ще изглежда като... отново ще направя координатните оси, ще изглежда по същия начин, но мисля, че ще ни е от полза да го начертая, защото по-късно ще начертая и производните. Едно, две, три, четири. Едно, две. Сега да видим какво се случва, когато t е равно на 0, или r от 0; всички тези стават нула, така че получаваме нулевия вектор – и х, и у са равни на нула. Когато t е равно на 1/2 какво ще получим? 1/2 по 2 дава 1. След това получаваме 1/2 на квадрат, което е 1/4 по 4, и получаваме 1. Когато t е равно на 1/2, отиваме в точката (1; 1). Когато t е равно на 1, отиваме в точката (2; 4). Обърни внимание, че кривата е същата, траекторията на движение е съвсем същата. Но преди да намерим производните, да кажем, че тези два пътя са еднакви. Искам да помислим за нещо. Да приемем, че нашият параметър t всъщност е времето. Това е най-често срещаният случай, затова използваме буквата t. Не е задължително това да е времето, но да приемем, че е времето. Какво се случва тук? При първата параметризация отидохме от 0 до 2 секунди, за да изминем този път. Можем да си представим, че след 1 секунда точката идва тук, после идва ето тук. Представи си точка, която се движи по кривата, и ѝ отнема 2 секунди, за да измине това разстояние. В този случай имаме точка, която се движи по същата крива, но изминава същото разстояние за една секунда; а за половин секунда идва ето тук. На другата крива точката достигна до тук за една секунда. За една секунда тази точка измина целия път до тук, за което на другата точка бяха нужни две секунди. При втората параметризация, въпреки че пътят е същият, кривата е същата, но точката се движи по-бързо. Искам да имаш това предвид, когато сравняваме производните на двете векторни функции на този радиус-вектор. Просто запомни, че точката се движи по-бързо за всяка секунда, в която се отдалечава по кривата, ето защо ѝ отне само една секунда. Сега да разгледаме производните на тези две функции. Производната тук, ако напиша r1 прим от t – ще използвам различен цвят, това оранжево вече го използвах, сега ще използвам синьо – r1 прим от t. Каква ще бъде производната? Тя ще бъде – спомни си – това са просто производните на всеки един от компонентите по единичните вектори. Производната на t спрямо t е равна просто на 1. Това е 1 по i. Ще напиша просто 1 по i плюс.. не е нужно да пиша това – плюс производната на t^2 спрямо t, което е 2 по t... плюс 2 по t по j. Сега ще намеря и тази производна. r2 прим от t. Производната на 2 по t спрямо t е 2, значи 2 по i, плюс производната на 4 по t^2, която е 8 по t. 2 по 4 е 8 по t. Ето така. Сега въпросът е как изглеждат съответните вектори на производните в различните точки. Да разгледаме колко бързо се движат точките, когато времето е равно на единица. Да разгледаме това в някаква конкретна точка. Това е просто общата формула, но да видим колко е производната в една конкретна точка. Да вземем r1, когато времето е равно на 1. Интересува ме тази конкретна точка от кривата, а не определена точка във времето. Значи тази точка на кривата съответства на време t = 1, можем да кажем 1 секунда. Това е ето тази точка тук, която съвпада с точката, когато времето е равно на 1/2 секунда. Значи r1 от 1 е равно – намираме производната в тази точка – равно е на 1 по i. Изобщо не зависи от t. Значи е 1 по i плюс 2 по 1 по j, значи плюс 2 по j. В тази точка производната на векторната функция на радиус-вектора е равна на 1 по i, плюс 2 по j. Можем да го начертаем по този начин, така че ще нанесем 1 по i ето така, после 2 по j. Това е просто 2 по j. Нашата производна ето тук – ще използвам същия цвят, с който писах. Това е този зелен цвят и тя ще изглежда ето така. Обърни внимание, че тя изглежда, или поне има същата посока – само да я направя малко по-права – посоката съвпада с допирателната към кривата, сочи в посоката, в която се движи нашата частица. Спомни си, че нашата частица се придвижва от тук дотук, така че тя се движи в тази посока. Ще разгледам за една секунда каква е дължината на вектора на производната. Само да поясня, това, ето тук, е r1 прим. Това е вектор, който ни казва колко е моментната скорост на изменение на нашия радиус-вектор по отношение на t, т.е. на времето, когато времето е равно на 1 секунда. Това е ето това нещо ето тук. Сега да разгледаме съвсем същото място на кривата. Само че сега частицата е тук в различен момент. Вече казахме, че ѝ е нужно... че ще се намира ето тук в момент t равно на 1/2 секунди. Да намерим – ще използвам същия цвят – значи тук е r2. Ще изчислим производната за t равно на 1/2, защото това е моментът 1/2 секунда. Равно е на 2 по i – изобщо не зависи от времето – значи 2 по i, плюс 8 по времето. Времето тук е 1/2. Става 8 по 1/2, което дава 4. Значи плюс 4 по j. Как изглежда този вектор? Тази производна е равна на моментното изменение на функцията. Това е производната, искам да е много ясно. Значи 2 по i – ще начертая още – значи 2 по i може би ни отвежда някъде тук. Плюс 4 по j, което ни довежда точно ето тук. Плюс 4 по j е ето този вектор. Когато съберем двата вектора край към начало, получаваме следното: получаваме нещо, което изглежда ето така. Не го чертая така прецизно, както би трябвало да е. Но обърни внимание: и двата вектора имат една и съща посока. Те и двата са тангенциални към траекторията, към нашата крива. Само че този вектор, негова дължина, е много по-голяма от дължината на другия вектор. Това е логично, защото аз ти подсказах, когато за пръв път споменах за тези векторни функции от позицията и техните производни – че дължината може един вид да се разглежда като скоростта. Дължината е равна на скоростта, ако си представиш, че t е времето, а тези параметризации представляват точка, която се движи по тези криви. В този случай на частицата ѝ отнема само една секунда, за да стигне дотук, така че тази точка се движи много по-бързо от другата частица. Ако помислиш за това, този вектор ето тук, ако си представиш това като радиус-вектор, това е скоростта. Скоростта на преместване е скоростта на движение плюс посоката. Скоростта на движение показва само с каква скорост се движи частицата. А скоростта на преместване е колко бързо се движи в определена посока. Скоростта е – като можеш да пресметнеш това с питагоровата теорема, но исках просто да ти покажа логиката, тук се движим с ето такава скорост в тази посока. Тук се движим с такава скорост, това е даже още по-голяма скорост. Това е големината на скоростта, но отново се движим в същата посока. Надявам се, че вече интуитивно разбираш какво представлява производната на тези радиус-вектори.