Основно съдържание

Курс: Въведение в алгебрата > Раздел 13

Урок 5: Въведение към уравнение на права по дадени ъглов коефициент и пресечна точка

Въведение към уравнение на права по дадени ъглов коефициент и пресечна точка
Въведение към уравнение на права по дадени ъглов коефициент и пресечна точка
Решени примери: въведение към уравнение на права по дадени ъглов коефициент и пресечна точка
Въведение към уравнение на права по дадени ъглов коефициент и пресечна точка

Въведение към уравнение на права по дадени ъглов коефициент и пресечна точка

Научи за декартовата форма на линейните уравнения с две променливи и как да я интерпретираме, за да намерим ъгловия коефициент и пресечната точка с оста у на съответните прави.

Какво трябва да знаеш, преди да започнеш този урок

Би трябвало да знаеш какво са линейни уравнения с две неизвестни. И по специално би трябвало да знаеш, че графиката на такива уравнения е права. Ако това е нещо ново за теб, виж въведението към уравнения с две неизвестни.
Би трябвало също да познаваш следните характеристики на линейните уравнения: пресечна точка с оста $y$ ‍, пресечна точка с оста $x$ ‍ и ъглов коефициент (наклон).

Какво ще научиш в този урок

Какво представлява уравнението на права по дадени ъглов коефициент и пресечна точка като форма на линейно уравнение с две неизвестни
Как да намериш ъгловия коефициент (наклона) и пресечната точка с оста $y$ ‍ на права от нейното уравнение по дадени ъглов коефициент и пресечна точка
Как да намериш уравнението на права, когато са дадени ъгловият ѝ коефициент (наклона) и пресечната точка с оста $y$ ‍

Какво представлява уравнението на права по дадени ъглов коефициент и пресечна точка?

Уравнението на права по дадени ъглов коефициент и пресечна точка е специфична форма на линейните уравнения. То има следния основен строеж. Барабани моля ...

y = m x + b

Тук

m

b

могат да са всеки две реални числа. Например тези линейни уравнения са представени като уравнение на права по дадени ъглов коефициент и пресечна точка:

$y = 2 x + 1$ ‍
$y = - 3 x + 2, 7$ ‍
$y = 10 - 100 x$ ‍
Вярно е, че това уравнение е различно от предишните, защото константният член—т.е. обикновеното число—се намира преди члена $x$ ‍.
Въпреки това, тъй като събирането е комутативно, това по същество е същият вид. Можем да кажем, че това уравнение е от вида $y = b + m x$ ‍ вместо от $y = m x + b$ ‍, но те означават едно и също нещо.

От друга страна тези линейни уравнения не са представени като уравнение на права по дадени ъглов коефициент и пресечна точка:

$2 x + 3 y = 5$ ‍
$y - 3 = 2 (x - 1)$ ‍
$x = 4 y - 7$ ‍

Уравнението на права по дадени ъглов коефициент и пресечна точка е най-известната форма на линейните уравнения. Нека проучим по-задълбочено, за да видим защо това е така.

Коефициенти чрез наклон и пресечна точка

Освен че е ясно и опростено, предимство на уравнението на права по дадени ъглов коефициент и пресечна точка е, че то дава две основни характеристики на правата, която представя:

Ъгловият коефициент (наклонът) е $m$ ‍.
Координатата $y$ ‍ на пресечната точка с оста $y$ ‍ е $b$ ‍. Казано по друг начин, пресечната точка с оста $y$ ‍ е с координати $(0; b)$ ‍.

Например правата

y = 2 x + 1

има ъглов коефициент (наклон)

2

и пресечна точка с оста

y

(0; 1)

Фактът, че този вид ни дава ъгловия коефициент и пресечната точка с оста

y

е причината на първо място да се нарича уравнение на права по дадени ъглов коефициент и пресечна точка!

Провери знанията си

Задача 1

Какъв е наклонът на права, представена чрез уравнението $y = 5 x - 7$ ‍?

Задача 2

Какъв е наклонът на права, представена чрез уравнението $y = x + 9$ ‍?

Задача 3

Коя е пресечната точка с оста $y$ ‍ на права, представена чрез уравнението $y = - 6 x - 11$ ‍?

Задача 4

Коя е пресечната точка с оста $y$ ‍ на права, представена чрез уравнението $y = 4 x$ ‍?

Задача 5

Какъв е наклонът на права, представена чрез уравнението $y = 1 - 8 x$ ‍?

Задача 6

Кои прави имат пресечна точка с оста $y$ ‍ в точката $(0; 4)$ ‍?

Задача за размисъл

Как намираме наклона на права, която е дадена чрез наклон и пресечна точка?

(Избор А)
Ъгловият коефициент е първото число, което се появява в уравнението.
(Избор Б)
Ъгловият коефициент е коефициентът на $x$ ‍ независимо от реда.

Задача с повишена трудност 1

Кое от следните уравнения може да отговаря на тази права?

Задача с повишена трудност 2

Напиши уравнение на права с наклон $10$ ‍ и пресечна точка с оста $y$ ‍ в $(0, - 20)$ ‍.

Защо това върши работа?

Може би се чудиш как така в уравнението на права по дадени ъглов коефициент и пресечна точка ъгловият коефициент е

m

, а

b

е пресечната точка с оста

y

Може ли това да е някакъв вид магия? Ами това определено не е магия. В математиката винаги има обосновка. В този раздел ще разгледаме това свойство, като използваме уравнението

y = 2 x + 1

като пример.

Защо $b$ ‍ е пресечната точка с оста $y$ ‍

В пресечната точка с оста

y

стойността на

x

е винаги нула. Така че ако искаме да намерим пресечната точка с оста

y

на уравнението

y = 2 x + 1

, трябва да заместим с

x = 0

и да намерим колко е

y

\begin{aligned} y & = 2 x + 1 \\ = 2 \cdot 0 + 1 & Заместване с x = 0 \\ = 0 + 1 \\ = 1 \end{aligned}

Виждаме, че в пресечната точка с оста

y

2 x

става нула и следователно получаваме

y = 1

Ако искаме да намерим пресечната точка с оста

y

на уравнението

y = m x + b

, трябва да заместим с

x = 0

и да намерим

y

\begin{aligned} y & = m x + b \\ = m \cdot 0 + b & Заместване с x = 0. \\ = 0 + b \\ = b \end{aligned}

Виждам, че в пресечната точка с оста

y

m x

става нула и получаваме

y = b

. Поради тази причина

b

винаги е пресечната точка с оста

y

Защо $m$ ‍ е ъгловият коефициент (наклонът)

Нека си припомним какво точно е ъгловият коефициент. Ъгловият коефициент е отношението между изменението на

y

и изменението на

x

между всеки две точки от правата.

Ъглов коефициент = \frac{Промяната на y}{Промяната на x}

Ако вземем две точки, за които изменението на

x

е точно

1

единица, тогава изменението на

y

ще бъде равно на самия ъглов коефициент (наклон).

Ъглов коефициент = \frac{Промяната на y}{1} = Промяната на y

Сега нека погледнем какво се случва със стойностите на

y

в уравнението

y = 2 x + 1

, когато стойностите на

x

се увеличават постоянно с

1

единица.

$x$ ‍	$y$ ‍
$0$ ‍	$1 + 0 \cdot 2$ ‍	$= 1$ ‍
$1$ ‍	$1 + 1 \cdot 2$ ‍	$= 1 + 2$ ‍
$2$ ‍	$1 + 2 \cdot 2$ ‍	$= 1 + 2 + 2$ ‍
$3$ ‍	$1 + 3 \cdot 2$ ‍	$= 1 + 2 + 2 + 2$ ‍
$4$ ‍	$1 + 4 \cdot 2$ ‍	$= 1 + 2 + 2 + 2 + 2$ ‍

Виждаме, че всеки път когато

x

нараства с

1

единица,

y

се увеличава с

2

единици. Това е така, защото

x

определя с колко пъти по

2

се променя

y

Както заявихме по-горе, изменението на

y

, което съответства на увеличаването на

x

1

единица, е равно на ъгловия коефициент (наклона) на правата. Поради тази причина ъгловият коефициент е

2

Нека видим, какво се случва със стойностите на

y

при общия вид на уравнението

y = m x + b

, когато стойностите на

x

постоянно нарастват с

1

единица.

$x$ ‍	$y$ ‍
$0$ ‍	$b + 0 \cdot m$ ‍	$= b$ ‍
$1$ ‍	$b + 1 \cdot m$ ‍	$= b + m$ ‍
$2$ ‍	$b + 2 \cdot m$ ‍	$= b + m + m$ ‍
$3$ ‍	$b + 3 \cdot m$ ‍	$= b + m + m + m$ ‍
$4$ ‍	$b + 4 \cdot m$ ‍	$= b + m + m + m + m$ ‍

Виждаме, че всеки път, когато

x

се увеличава с

1

единица,

y

се увеличава с

m

единици. Това е така, защото

x

задава кратното на

m

за стойността на

y

Както е посочено по-горе, изменението на

y

, което съответства на

x

, увеличено с

1

единица, е равно на ъгловия коефициент на правата. По тази причина

m

винаги дава ъгловия коефициент.

Задача с повишена трудност 3

Попълни уравнението на правата.

y =

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Въведение в алгебрата

Курс: Въведение в алгебрата > Раздел 13

Какво трябва да знаеш, преди да започнеш този урок

Какво ще научиш в този урок

Какво представлява уравнението на права по дадени ъглов коефициент и пресечна точка?

Коефициенти чрез наклон и пресечна точка

Провери знанията си

Защо това върши работа?

Защо b‍ е пресечната точка с оста y‍

Защо m‍ е ъгловият коефициент (наклонът)

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Защо $b$ ‍ е пресечната точка с оста $y$ ‍

Защо $m$ ‍ е ъгловият коефициент (наклонът)