Разлагане на полиноми с помощта на комплексни числа

Дадено е, че Амат опитал да представи израза х на четвърта степен плюс 5 по х на квадрат, плюс 4 като произведение от линейни множители. Тук виждаме неговото решение. И са показани стъпките на неговото решение. След което в задачата се пита в коя стъпка Амат е допуснал първата си грешка. Постави видеото на пауза и опитай да отговориш самостоятелно. Сега да решим задачата заедно. Започваме с х на четвърта степен плюс 10 по х на квадрат плюс 9. Изглежда, че Амат се е опитал да разложи израза като х на квадрат плюс 9, по х на квадрат плюс 1. Това изглежда логично, защото ако положим u равно на х на квадрат, можем да представим този израз тук като u на квадрат плюс 10 по u, плюс 9. Причината да направим това е, че можем да изразим този израз от по-висока степен чрез израз от втора степен. Ние сме разглеждали много пъти как да разлагаме изрази като този. Поглеждаме и казваме: сборът на кои две числа дава 10, а произведението им е 9? Дали може да са 9 и 1? Значи можем да представим това като u плюс 9, по u плюс 1. Ако u е равно на х на квадрат, тогава това става х на квадрат плюс 9, по х на квадрат плюс 1. Това е съвсем същото като написаното от Амат. Значи стъпка 1 е правилна. Добре, сега да видим какво е направил Амат в стъпка 2. Не е направил нищо с х на квадрат плюс 9, но изглежда е опитал да разложи х на квадрат плюс 1. Това изглежда правилно. Само трябва да си припомним, че когато имаме разлика на квадрати, когато работим с некомплексни числа, можем да преработим този израз тук като х плюс а, по х минус а. Можем да получим сума от квадрати, ако ги разглеждаме като комплексни числа. Това е равно на х плюс а по i, по х минус a по i. В този случай х си е х, докато а е равно на 1. Значи ще имаме х плюс 1 по i, х плюс 1 по i, по х минус 1 по i. Значи стъпка две е правилна. Сега да видим стъпка три. В третата стъпка тази част от израза не се променя. (подчертава я) Изглежда, че Амат се опитва да разложи х на квадрат плюс 9 по съвсем същия начин. Сега х на квадрат плюс 9 е равно на х на квадрат плюс 3 на квадрат. Ако използваш съвсем същата идея тук, (посочва на екрана) при разлагането получаваме х плюс 3 по i, по х минус 3 по i. Това, което виждаме тук, е, че Амат използва корен квадратен от 3, а не просто 3. Амат го е разложил все едно тук вместо 9 имаме тук 3. Той е допуснал грешка тук. Значи това е стъпката, в която Амат е допуснал първата си грешка. С това задачата е решена.