Извеждане на формулата за фокусите на хиперболата

В предишното видео показах как за хипербола с уравнение х^2/а ^2 – у^2/b^2 =1 е вярно, че фокусното разстояние на тази хипербола е равно на квадратен корен от а^2 + b^2. В това видео ще ти покажа как се получава. Само да уточня, това уравнение тук е на една конкретна хипербола, отворена отляво и отдясно. Тези линии са асимптотите, а това са координатните оси. Отворена е така, защото членът, съдържащ х, е положителен. Ако членът с у беше положителен, а този с х имаше знак минус, то хиперболата щеше да е отворена отгоре и отдолу. Доказателството в това видео, поредица алгебрични действия, е аналогично на случая с положителен у, където просто разменяме х и у. Исках само да си наясно, че разглеждам конкретния случай на хипербола, която е отворена отляво и отдясно. Мога да я нарека хоризонтална хипербола, за разлика от вертикалната, и искам да е ясно, че има и друг тип хипербола. Нека начертаем графичното представяне на всичко това, за да е сигурно, че разбираме кои са фокусите и къде се намират на хиперболата. Това са осите на координатната система. Асимптотите на тази хипербола са правите с уравнения y = b/a или y = –b/a y = b/a или y = –b/a Това е едната асимптота, а това е другата. Хиперболата ще изглежда така: ще пресича оста х в точката (а; 0) тук и в точката (–а; 0). В предишното видео видяхме това. Графиката изглежда така. Тогава фокусите ще се намират някъде тук в тези две точки. Фокусното разстояние е квадратен корен от а^2 + b^2. Това е тази отсечка тук. Нейната дължина е фокусното разстояние. Това е точката (f; 0), а това е точката (–f; 0). В предишното видео научихме една от дефинициите на хиперболата — съвкупността от точки, за които ако взема разликата от разстоянията между тях и всеки от фокусите, то тази разлика ще е константно число. Нека вземем точката (x; y). Тя би могла да е всяка точка, която отговаря на уравнението, всяка точка от хиперболата. За нея това разстояние, да го наречем d1, минус разстоянието до другия фокус, или d2, ще бъде постоянно число, независимо от избора на точка от хиперболата. Всъщност самата хипербола е съвкупността от всички точки, които отговарят на това условие. Видяхме го в предишното видео, където избрахме точка и намерихме разликата на едното и другото разстояние. Видяхме, че тази разлика е равна на 2a. Да обобщим, d1 - d2 = 2a. Да използваме този факт, за да докажем уравнението за фокусното разстояние. Нека първо изразим d1 и d2 чрез формулата за разстоянията. d1 е разстоянието между нашата точка и точката (–f; 0). Ще намерим d1 чрез формулата за разстоянията, която е просто теоремата на Питагор. Това е разликата от хиксовете, или разстоянието по х, (x – f)^2, плюс разстоянието по у, (y – 0), което е просто у, на квадрат. Взимаме квадратния корен на това. И това прави d1. Искаме да извадим от него d2. Нужна ни е разликата от разстоянията и в случая d1 определено е по-голямо от d2. Можеше да вземем и абсолютната стойност от разликата, ако не искаме да се чудим кое е по-голямо. Така тук имаме d2, което е квадратния корен от (x – f)^2 + y^2. На какво е равно това? Казахме, че е равно на 2a, което е разстоянието между фокусите тук. Това е два пъти а. Нека се опитаме да го опростим. Интересно би било да преместим умалителя от другата страна на уравнението. Сега ще стане разпиляно, затова ще внимавам да не правя грешки. Това ще стане (x + f)^2, минусите се унищожават, плюс у^2 равно на 2а плюс квадратен корен от (x – f)^2 + у^2. За да се отървем от корените, ще повдигнем двете страни на уравнението на квадрат. Лявата страна на уравнението след степенуването става (x + f)^2 + у^2. За да степенуваме дясната част, първо повдигаме едното събираемо и то става 4а^2. После добавяме произведението на двете събираеми и го умножаваме по 2. Повдигането на целия сбор на квадрат е просто преговор на алгебрата с двучлени. Тук събираме с 2а по 2, което е 4а, по квадратния корен от (x - f)^2 + у^2. Да не забравя този квадрат при у. И накрая степенуваме това събираемо. Също като при умножението на двучлени. Повдигаме това на квадрат, като просто махнем знака за коренуване. Това е (x - f)^2 + у^2. Вече виждаме какво ще се унищожи. Имаме у^2 от двете страни на уравнението, затова можем просто да го премахнем. Изваждаме у^2 от двете страни на уравнението. Нека да разширим този квадрат. Имаме x^2 + 2xf + f^2. Това е равно на 4а на квадрат плюс 4а по квадратния корен от (x - f)^2 + у^2.. Да запишем и последния квадрат. Плюс х^2 – 2xf + f^2. Да видим какво можем да унищожим. Имаме х^2 от двете страни и можем да го извадим. По същия начин премахваме и f^2. Да продължим да опростяваме. Имаме –2xf от едната страна и +2xf от другата. Да прибавим към двете страни 2xf. Това ще премести този член отляво. Добавяме 2xf към двете страни на уравнението и ще получим 4xf. Запомни, че току-що преместих това към лявата страна. Тя е равна на 4а^2 + 4а по квадратния корен от (x - f)^2 + у^2. Лесно е да се изгубим в алгебричните изрази. Помни какво правим, целта на всичко това е да опростим разликата от разстоянията между тази точка и фокусите, за да я свържем с уравнението на хиперболата. Там се използват и a и b. Нека да пренесем това 4a от лявата страна. 4xf – 4a^2 е равно на 4а по квадратния корен от... тук ще разширим израза, защото все някога ще трябва... х^2 – 2хf + f^2 + у^2. Тук просто разписахме квадрата. А тук остана y^2. Можем да разделим двете страни на 4. Опитвам се да опростя уравнението, колкото е възможно. То става xf – а^2 равно на а по корен квадратен от всичко това: х^2 – 2xf + f^2 + у^2. Сега можем да повдигнем на квадрат двете страни на уравнението. Лявата страна става x^2 по f^2 – 2a^2 по xf плюс а^4. Това е квадратът на лявата страна. И това е равно на квадрата на дясната страна: а^2 по израза под корена, х^2 – xf + f^2 + y^2. Уравнението стана доста разпиляно, нека видим как да го опростим. Да разделим двете страни на а^2. Ще получим х^2 по f^2... опитвам се максимално да опростя... върху a^2, минус... а^2 се съкращава, – 2xf плюс а^4, разделено на а^2, това е просто а^2. Равно е на х^2 – 2xf + f^2 + у^2. Добре. Има какво да съкратим. От двете страни има –2xf, затова го премахваме. Опростява малко ситуацията. Да видим, имаме това уравнение. Можем да прехвърлим членовете с x и y към лявата страна. Получаваме x^2 по f^2 върху а^2, минус х^2 (изваждаме тези у^2 от двете страни на уравнението) минус у^2. Просто преместих това от тази страна. Нека преместим и това а^2 от дясната страна на уравненето, за да си спестим една стъпка. Взехме членовете с x и у и ги извадихме от двете страни на уравнението. Те вече са от дясната страна. И като извадим а^2 от двете страни, получаваме f^2 – а^2. Почти сме готови. За да опростим, нека изнесем х^2 пред скоби. Това става f^2 върху а^2 минус едно по х^2. –у^2 е равно на фокусното разстояние на квадрат, f^2 минус а^2. Нека разделим двете страни на уравнението на този израз и вече ще започне да изглежда познато. Получаваме (f^2/а^2 – 1)x^2 делено на f^2 – а^2. минус у^2 върху f^2 – а^2 е равно на 1. Разделих и двете страни на това, затова тук получих 1 за дясната страна. Нека видя как да опростя това. Ако умножа числителя и знаменателя по а^2? Когато умножавам двете страни на дробта по едно и също число, е същото като да умножавам по 1, така че не променям нищо. Ако направя това, знаменателят става f^2 – а^2. Просто умножавам това по а^2. Знаменателят става а^2 по f^2 – а^2. Всичко това по х^2. –у^2/f^2 –а^2 е равно на 1. Тези двете се унищожават. И полученото уравнение започва да прилича на уравнението на хипербола. От това енергията ми се връща! Виждам светлината в края на тунела. Получихме х^2/а^2 – у^2/f^2 минус а^2 равно на 1. Много прилича на нашето уравнение на хиперболата, което е х^2/а^2 – у^2/b = 1. Всъщност това е самото уравнение на хиперболата, но вместо да използваме b^2, се запитахме на какво отговарят всички точки с разлика от разстоянията до двата фокуса, равна на 2а? И после си поиграхме с алгебричния израз. Беше доста изморително и съм впечатлен че стигнахме чак дотук с видеото, за да получим това уравнение. То би трябвало да е уравнението на хиперболата и е точно такова. Двете уравнения са еквивалентни. Следователно и този израз е равен на този. Значи f^2 – а^2, или фокусното разстояние на квадрат минус а^2 е равно на b^2. Ако добавим а^2 към двете страни, получаваме f^2 = b^2 + а^2. Оттук, фокусното разстояние е равно на квадратния корен от а^2 + b^2. Това е точно, което искахме да намерим в началото. Надявам се вече се убеди, че фокусното разстояние на хиперболата се получава от сбора на тези две събираеми. Това също ще е вярно и за вертикална хипербола. А ако разглеждаме елипса, тук ще дойде разликата на тези две: корен квадратен от разликата на тези два знаменателя. Все пак ще приключим дотук. Това беше уморителна задача, сега ще си налея чаша вода.