Нула факториел или 0!

Ако обърна специално внимание на употребата на факториела във видеата за пермутации и комбинации, може би забеляза нещо интересно. Нека направим кратък преговор за факториел. Ако кажа n факториел, това, разбира се, ще е n по n минус едно по n минус две и това щеше да продължи, докато стигна до по едно. Щях да продължавам да намалявам n, докато не стигна едно, а после щях да умножа всички тези неща. Всичко това е преговор. Ако кажа три факториел, това ще е три по две по едно. Ако кажа две факториел, това ще е две по едно. Едно факториел, логически, ще продължа да намалявам, докато не стигна до едно, но дори не трябва да намалявам тук, понеже вече съм на едно. Така че просто умножавам едно. А нула факториел е интересно. Нула факториел. Едно логично нещо, което можеш да кажеш, е, че, може би, нула факториел е нула. Започвам със самото него, понеже вече е под едно. Може би е нула. Но, както ще видим, математиците са решили, че това не е така. Това е интересно, операцията факториел е нещо, което хората са изобретили, като мислят, че е нещо интересно, че е полезен начин за записване. Така че те могат да дефинират какво прави то. Математиците са открили, че е доста по-полезно да дефинират нула факториел като нещо друго, да дефинират нула факториел като... Аплодисменти... Вярват, че нула факториел трябва да е едно. Знам, въз основа на логиката, на концептуалната логика на това, то изобщо няма смисъл. Но, след като вече сме се запознали бегло с пермутациите, ще ти покажа защо това е полезна концепция, особено в света на пермутациите и комбинациите. Където, честно казано, факториелът се среща най-често. Най-голямата част от случаите, през които съм виждал факториел, са били в ситуациите на пермутации и комбинации. И в някои други неща, но предимно пермутации и комбинации. Нека направим малък преговор. Казахме, че ако имаме n неща и искаме да намерим броя начини да ги подредим на k места, това ще е n факториел върху n минус k факториел. Също казахме, че ако имаме n неща, които искаме да подредим на n места, това просто трябва да е n факториел. Нека направим това. Това е първото място, това е второто място, това е третото място. Стигаш до n-тото място. Това ще са n вероятности за това кой е на първата позиция или кой обект е в първата позиция. После, за всяка от тези вероятности, ще има n минус едно вероятности за това кой обект ще избереш да поставиш на втората позиция, понеже вече постави едно в тази позиция. За всяка от тези n по n минус едно вероятности, при които постави две неща, ще има n минус две вероятности за това кое отива в третата позиция и после просто ще продължиш нататък до едно. Това нещо тук е точно онова, което записахме тук. Това е равно на n факториел. Но, ако директно приложим формулата, това ще трябва да е n факториел върху n минус n факториел. После можеш да видиш защо това е интересно. Понеже това ще е n факториел върху нула факториел. За да може да се приложи тази формула, дори в случая, когато k е равно на n, което е това тук, и, за да е това логично, нула факториел трябва да е равно на едно. Затова математическата общност е решила, това нещо, което сме създали и нарекли факториел, казахме, че слагаш удивителен знак зад нещо, можем да преброим числото надолу до едно и продължаваш да умножаваш; за нула, просто ще го дефинираме така. Ще дефинираме, ще направим математическа дефиниция. Просто ще кажем, че нула факториел е равно на едно. Всъщност, това е доста полезно.