Текстови задачи с геометрична прогресия: разходка в планината

В условието е дадено, че Слоун отишла на 4-дневен туристически поход. Всеки ден тя изминава 20% по-дълго разстояние, отколкото в предходния ден. Тя изминала общо 27 километра. Какво разстояние е изминала Слоун в първия ден на похода? Казват ни да закръглим отговора до най-близкия километър. Както винаги, препоръчвам ти да опиташ самостоятелно и да видиш дали можеш да определиш разстоянието, което Слоун е изминала през първия ден. Добре, а сега нека означим разстоянието, което е изминала през първия ден с "а". После, като използваме "а", да видим можем ли да изразим общото разстояние, което тя е изминала. То трябва да е равно на 27 километра общо. После, надявам се, ще можем да намерим "а". Значи през първия ден тя изминава "а" километра. Колко изминава през втория ден? Казват ни, че всеки следващ ден изминава с 20% повече от разстоянието, изминато през предходния ден. Значи на следващия ден тя изминава 20% повече от "а" километра, което е 1,2 по а километра. А на по-следващия ден – на третия ден? Това е просто 1,2 по това, което е изминала през втория ден. Значи това е 1,2 по 1,2, което е равно на 1,2 на квадрат по а. Колко изминава през четвъртия ден? Тя е на 4-дневен поход, значи това е последният ден. Това ще бъде 1,2 по разстоянието, изминато през третия ден. Това е равно на 1,2 на трета степен, по а. Така изразихме чрез а какво разстояние е изминала за четири дни. Дадено ни е, че е изминала общо 27 километра, значи това е равно на 27 километра. Сега можем да намерим а. Можем да изнесем пред скоби а и тогава става а по (1 + 1,2 + (1,2)^2 + (1,2)^3) е равно на 27. Сега а е равно на 27 върху (1 + 1,2 + (1,2)^2 + (1,2)^3), като ще ни трябва калкулатор, за да го пресметнем. Но мога да използвам и различна техника, която е ефективна, дори когато тук имаме 20 члена в знаменателя. На теория можем да използваме това дори при 20 члена, но тогава става много сложно, а какво да кажем, ако са 200. Затова другият начин да решим това е да използваме формулата за краен геометричен ред. Какво беше това? Само да си припомним, сумата от първите n члена е равна на първия член, който означихме като "а", минус първия член, умножен по частното. В този пример частното е 1,2, защото всеки следващ член е 1,2 по предходния. Значи първия член по частното на степен n, всичко това върху 1 минус частното. В други видео уроци обяснихме откъде идва тази формула, доказахме я, но тук просто ще я използваме. Вече знаем колко е а, използвахме го като променлива. Частното в този пример е равно на 1,2. n ще бъде равно на 4. Друг начин, по който можем да разсъждаваме, е, че първият член, който виждаме ето тук, минус члена, до който няма да достигнем – ако имахме пети член, щяхме да извадим този пети член, защото ние не достигаме тук до четвърта степен, петият член щеше да съдържа пета степен, всичко това върху едно минус частното. Значи лявата страна на това уравнение можем да преобразуваме като нашия първи член минус първия член по частното, което е 1,2, на четвърта степен, всичко това върху 1 минус частното. И това е равно на 27. Ще се преместя малко, за да имаме повече място за решаване. Да видим, можем малко да опростим. Това ще е равно на –0,2. От числителя можем да изнесем пред скоби а. Така става равно на а по 1 минус (1,2)^4. Да видим, можем да умножим и числителя, и знаменателя по минус 1. Така получаваме а по... ще изнеса а от дробта, а по – тук ще сменя местата и ще се отърва от минуса. 1,2 на четвърта степен минус 1 върху 0,2, е равно на 27. Повтарям, просто изнесох "а" от дробта, ето тук, и умножих числителя и знаменателя по минус 1. Когато умножим числителя по –1, просто разместваме местата на двата члена. После умножаваме –0,2 по –1, което е просто плюс 0,2. Сега просто умножавам двете страни по реципрочната стойност на това в скобите. Ще го направя ето тук. Значи 0,2 върху 1,2 на четвърта степен, минус 1. После тук, 0,2 върху 1,2 на четвърта минус 1. Това се съкращава с това, това се съкращава с това, точно затова го правим. И остава, че "а" е равно на – ще го запиша в жълто – 27 по 0,2, цялото върху (1,2)^4 минус 1. Този израз трябва да даде точното същата стойност, като изразът, който имахме тук, но това е удобно за пресмятане, дори когато имаме 100 члена, дори тогава можем да го използваме. Взимам калкулатора. Това ни дава.... Всъщност първо ще сметна знаменателя, имаме 1,2 на четвърта степен, от каквото получим изваждаме 1, това е равно на… това е в знаменателя, после взимам реципрочната му стойност, и умножавам по 27, по 0,2, това е равно на 5,029. В условието се казва да закръглим отговора до най-близкия километър, така че това ще е приблизително равно на 5 километра. Това е приблизителното разстояние, което тя е изминала на първия ден от туристическия поход.