Доказателство на тригонометричните формули за функция на сбор или на разлика от два ъгъла

В това видео ще приема, че вече знаем някои неща и че вече сме ги разгледали. В други видеа сме доказали, че синус от х плюс у е равно на синус от х по косинус от у, плюс – и после разменяме местата на косинуса и синуса – плюс косинус от х по синус от у, а после косинус от х плюс у е равно на косинус от х по косинус от у минус синус от х по синус от у. Повтарям – това сме го доказвали в други видео уроци. Има и други свойства на косинус и синус, които знаем и които сме разглеждали в други видеа. Косинус от минус х е равно на косинус от х, а синус от минус х е равно на минус синус от х. Знаем също, че тангенс от даден ъгъл по дефиниция е равен на синус от същия ъгъл върху косинус от същия ъгъл. Като изяснихме това, сега искам да изведем формула за тангенс от х плюс у, изразен чрез тангенс от х и чрез тангенс от у. Можеш да си го представиш като аналог на това, което имаме тук за синус и за косинус. Това, което може би веднага забелязваш, е, че тангенс от х плюс у на база на определението за тангенс е равно на синус от (х плюс у) върху косинус от (х плюс у). На колко ще е равно това? Знаем, че синус от (х + у) може да се изрази по този начин. Ще го запиша. Това е равно на синус от х по косинус от у плюс косинус от х по синус от у. След това... всъщност, за да си спестим малко писане, ще го запиша малко странно, ще начертая една черта тук, защото тук след малко ще сложа нещо, но мисля, че ще разбереш какво правя. Тук ще бъде това, върху косинус от (х + у), което е този израз, когато го изразим чрез косинус от х и косинус от у и чрез синус от х и синус от у. Ще го запиша тук. Ще имаме косинус от х по косинус от у, минус синус от х по синус от у. Сега искаме да изразим всичко това чрез тангенс от х и от у. Може би тук трябва да кажем, че знаем, че тангенс е равен на синус върху косинус. Какво ще стане, ако разделим числителя и знаменателя на един и същ израз, който ще ни помогне да направим числителя и знаменателя да са изразени чрез тангенси. И сега да се захващаме за работа. Значи в числителя, ако направя това, като ще го направя първо само в числителя, а после ще го направя и в знаменателя. Ще разделя числителя на косинус от х по косинус от у. Разбира се, не мога да разделя само числителя на косинус от х по косинус от у, защото това ще промени стойността на израза, на този рационален израз. Трябва да го направя и в знаменателя. Знам, че това стана една много сложна на вид дроб, но само след секунда ще се опрости. Значи разделям знаменателя на косинус от х по косинус от у. Сега да видим как ще опростим това по някакъв начин. В числителя виждаме, че този косинус от у се съкращава с този косинус от у. Този първият член тук го ограждам с това червено. Това синус от х върху косинус от х. Значи в числителя – ще стане равно на синус от х върху косинус от х, което е равно на тангенс от х. Вторият член тук, виждаме че това косинус от х се съкращава с това косинус от х. (зачерква ги) Остава ни синус от у върху косинус от у, което, разбира се, е тангенс от у. Значи плюс тангенс от у. После всичко това е върху – сега да разгледаме знаменателя. Първият член тук, виждаме, че това косинус от х се съкращава с косинус от х, (зачерква ги) и косинус от у се съкращава с косинус от у. Можем да разглеждаме това като първи член тук, когато делим на това косинус от х по косинус от у, което става 1. След това имаме минус. Вторият член тук е интересен. Имаме синус от х върху косинус от х, синус от у върху косинус от у. Значи синус от х върху косинус от х (огражда го) е равно на тангенс от х, а после синус от у върху косинус от у е тангенс от у. Значи това става тангенс от х по тангенс от у. И по този начин получихме израз за тангенс от (х + у), в който имаме само тангенси от х и тангенси от у. Въпросът, който може би възниква у теб, е, че получихме израз за тангенс от (х + у), но какво става, ако имаме тангенс от (х - у)? Тук просто трябва да си дадем сметка за нещо, което вече сме виждали. Ще го запиша ето тук. (в горния десен ъгъл) Тангенс от минус х е равно на синус от минус х върху косинус от минус х. На какво е равно това? Свършва ми мястото. Това е равно на... синус от минус х е равно на минус синус от х, а косинус от минус х е просто косинус от х. Значи това е просто минус тангенс от х. Това е минус тангенс от х. Причината това да ни е полезно е, че мога да преработя това – ще пиша ето тук. Това е равно на тангенс от х плюс ( минус у). Навсякъде, където имаме у във формулата, можем да заместим с минус у. Това е равно на тангенс от х, плюс тангенс от минус у, всичко това върху 1 минус тангенс от х по тангенс от минус у. Знаем, че тангенс от минус у е равно на минус тангенс от у. Знаем и това ето тук. Така че това може да стане – можем да запишем тангенс от у тук, после този минус ще стане плюс. За да запишем всичко по-спретнато, знаем, че тангенс от (х минус у) може да се представи като тангенс от х минус тангенс от у, цялото върху 1 плюс тангенс от х по тангенс от у.