Основно съдържание

Курс: Въведение в математическия анализ > Раздел 2

Урок 10: Използване на тригонометрични тъждества

Формули за тригонометрични функции

Потърси и разбери всички твои любими формули с тригонометрични функции

Тъждества за реципрочни и частни на тригонометрични функции

\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)}

Поиграй си с точката върху единичната окръжност, за да видиш, че косинусът и секансът се променят едновременно. Обърни внимание, че когато стойността на косинуса е малка, стойността на секанса е голяма и обратно. Това е така, защото тяхното произведение е винаги точно

1

Можем също така да видим, че това тъждество използва подобни триъгълници. Плъзни точката под графиката, за да видиш, че единият триъгълник се трансформира в другия. Гледай внимателно, за да видиш кои отсечки са съответни една на друга.

cosec (θ) = \frac{1}{\sin (θ)}

Поиграй си с точката върху единичната окръжност, за да видиш, че синус и косеканс се променят едновременно. Обърни внимание, че когато стойността на синуса е малка, стойността на косеканс е голяма, и обратно. Това е така, защото тяхното произведение винаги е равно на

1

ctg (θ) = \frac{1}{tg (θ)}

Поиграй си с точката от единичната окръжност, за да видиш как тангенсът и котангенсът се променят едновременно. Обърни внимание, че когато тангенсът има малка стойност, тогава стойността на котангенса е голяма, и обратно. Това е така, защото тяхното произведение винаги е равно на

1

tg (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}

Можем да видим, че това тъждество използва подобни триъгълници. Плъзни точката под графиката, за да видиш, че единият триъгълник се трансформира в другия. Гледай внимателно, за да видиш кои отсечки са съответни една на друга.

ctg (θ) = \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}

Основни тригонометрични тъждества

\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ) = 1^{2}

{tg}^{2} (θ) + 1^{2} = \sec^{2} (θ)

{ctg}^{2} (θ) + 1^{2} = {cosec}^{2} (θ)

Формули на тригонометрични функции от сбор, разлика, произведение и частно на два ъгъла

Всички те са тясно свързани, но да разгледаме всяка от тях поотделно.

Тригонометрични функции от сбор или разлика на два ъгъла

\begin{aligned} \sin (θ + ϕ) & = \sin θ \cos ϕ + \cos θ \sin ϕ \\ \sin (θ - ϕ) & = \sin θ \cos ϕ - \cos θ \sin ϕ \\ \cos (θ + ϕ) & = \cos θ \cos ϕ - \sin θ \sin ϕ \\ \cos (θ - ϕ) & = \cos θ \cos ϕ + \sin θ \sin ϕ \end{aligned}

Графиката по-долу е начин за доказване на формулите за тригонометрични функции от сбор на два ъгъла. Лявата и дясната страна на правоъгълника са равни, от което следва:

\sin (θ + ϕ) = \sin θ \cos ϕ + \cos θ \sin ϕ

Горната и долната страни също са равни, от което следва:

\cos (θ + ϕ) = \cos θ \cos ϕ - \sin θ \sin ϕ

Най-лесният начин да осмислиш чертежа е като започнеш от правоъгълния триъгълник в средата и продължиш да чертаеш, като приложиш дефинициите за тригонометричните функции в правоъгълен триъгълник.

С подобен чертеж могат да се онагледят формулите за тригонометрични функции от разлика на два ъгъла. Можеш ли да начертаеш такъв?

(Технически, това не е доказателство за всички положителни стойности на

θ

ϕ

, но тъждествата важат за всички стойности.)

\begin{aligned} tg (θ + ϕ) & = \frac{tg θ + tg ϕ}{1 - tg θ tg ϕ} \\ tg (θ - ϕ) & = \frac{tg θ - tg ϕ}{1 + tg θ tg ϕ} \end{aligned}

Можем да изведем формулата за функцията тангенс от сбор на ъгли, като използваме формулите за синус от сбор на ъгли и косинус от сбор на ъгли.

\begin{aligned} tg (ϕ + θ) & = \frac{\sin (ϕ + θ)}{\cos (ϕ + θ)} \\ = \frac{\sin (ϕ) \cos (θ) + \cos (ϕ) \sin (θ)}{\cos (ϕ) \cos (θ) - \sin (ϕ) \sin (θ)} \\ = \frac{(\frac{\sin (ϕ) \cos (θ) + \cos (ϕ) \sin (θ)}{\cos (ϕ) \cos (θ)})}{(\frac{\cos (ϕ) \cos (θ) - \sin (ϕ) \sin (θ)}{\cos (ϕ) \cos (θ)})} \\ = \frac{tg (ϕ) + tg (θ)}{1 - tg (ϕ) tg (θ))} \end{aligned}

Можем да намерим разликата на два ъгъла просто като добавим мярката на единия ъгъл със знак минус.

\begin{aligned} tg (ϕ - θ) & = \frac{tg (ϕ) + tg (- θ)}{1 - tg (ϕ) tg (- θ)} \\ = \frac{tg (ϕ) - tg (θ)}{1 + tg (ϕ) tg (θ)} \end{aligned}

Формули на тригонометрични функции от удвоен ъгъл

\sin (2 θ) = 2 \sin θ \cos θ

\cos (2 θ) = 2 \cos^{2} θ - 1

Можем да изведем тази формула и от формулата за функцията от сбор на два ъгъла, но трябва да извършим още малко допълнителни преобразувания.

Първо, нека да направим и двата ъгъла еднакви.

\cos (θ + ϕ) = \cos θ \cos ϕ - \sin θ \sin ϕ

\cos (θ + θ) = \cos θ \cos θ - \sin θ \sin θ

\cos (2 θ) = \cos^{2} θ - \sin^{2} θ

Сега можеш да използваш тъждеството

\sin^{2} θ + \cos^{2} θ = 1

, за да изразиш дясната страна само чрез косинуси.

\cos (2 θ) = \cos^{2} θ - (1 - \cos^{2} θ)

\cos (2 θ) = \cos^{2} θ - 1 + \cos^{2} θ

\cos (2 θ) = 2 \cos^{2} θ - 1

tg (2 θ) = \frac{2 tg θ}{1 - {tg}^{2} θ}

Формули за половинка ъгъл

\begin{aligned} \sin \frac{θ}{2} & = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos θ}{2}} \\ \cos \frac{θ}{2} & = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos θ}{2}} \\ tg \frac{θ}{2} & = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos θ}{1 + \cos θ}} \\ = \frac{1 - \cos θ}{\sin θ} \\ = \frac{\sin θ}{1 + \cos θ} \end{aligned}

Можем да изведем всичко това, като вземем формулата за функцията от удвоен ъгъл и заместим:

θ \to \frac{θ}{2}

След това трябва да се направи известно пренареждане.

Например:

\sin (2 θ) = 2 \sin θ \cos θ

се превръща в...

\sin (2 \frac{θ}{2}) = 2 \sin \frac{θ}{2} \cos \frac{θ}{2}

А после трябва да намерим

\sin \frac{θ}{2}

. Опитай да измислиш как да представиш останалите тъждества.

Формули, свързани със симетрията и периодичността на тригонометричните функции

\sin (- θ) = - \sin (θ)

\cos (- θ) = + \cos (θ)

tg (- θ) = - tg (θ)

Това е по-трудно да се види на чертежа на единичната окръжност, но ние можем да го получим като представим функцията тангенс чрез функциите синус и косинус и после приложим формулите за синус и косинус от отрицателни ъгли.

tg (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}

Следователно,

tg (- θ) = \frac{\sin (- θ)}{\cos (- θ)} = \frac{- \sin (θ)}{\cos (θ)} = - tg (θ)

\begin{aligned} \sin (θ + 2 π) & = \sin (θ) \\ \cos (θ + 2 π) & = \cos (θ) \\ tg (θ + π) & = tg (θ) \end{aligned}

Зависимости между тригонометричните функции от допълващи се ъгли

\begin{aligned} \sin θ & = \cos (\frac{π}{2} - θ) \\ \cos θ & = \sin (\frac{π}{2} - θ) \\ tg θ & = ctg (\frac{π}{2} - θ) \\ ctg θ & = tg (\frac{π}{2} - θ) \\ \sec θ & = cosec (\frac{π}{2} - θ) \\ cosec θ & = \sec (\frac{π}{2} - θ) \end{aligned}

Всички тези формули изглеждат еднакви!

Ключът за разбирането на тези формули е да осъзнаеш, че преминаването от ъгъл

θ

към ъгъл

\frac{π}{2} - θ

е равносилно на изобразяването на нашия ъгъл при симетрия спрямо правата

y = x

На интерактивния чертеж по-долу е направен опит да се покаже как ъглите се отнасят един към друг и че

\sin θ = \cos (\frac{π}{2} - θ)

. Другите двойки тригонометрични функции от допълващи се градуса ъгли работят по същия начин, откъдето получаваме останалите формули.

Допълнение: Всички тригонометрични отношения в единичната окръжност

Използвай движещата се точка, за да видиш как отношенията се променят в зависимост от ъгъла.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.