Пример с втора регресия

Да намерим уравнението на линията на регресия, която е най-добре съвпада с този пример. Като съвпадение означава минимизиране на квадратичното отклонение на всяка от точките. После всъщност можем да пресметнем колко добра стойност е с помощта на r квадрат. Може би ще трябва да го направим следващия път, в зависимост от времето. Така че само да припомня, правата ще има уравнение у = mx + b. И ни стана ясно, че наклонът на тази права – правата, която минимизира квадратичното отклонение на всяка от тези точки– ще представлява средната стойност на членовете ху минус средната стойност на х, умножена по средната стойност на у. Всичко това върху средната стойност на квадратите на х, минус средната стойност на х на квадрат. Един начин да запомним това, предполагам, е че първите членове представляват средната стойност на комбинираните членове. Най-напред умножаваме х по него самото, след това намираме средните стойности. Умножаваме х по у, първо едно по друго, след това наред са средните стойности. И после идват вторите членове, намираме средните стойности на отделните компоненти, след което ги умножаваме. Средната стойност на х по средната стойност на у, средната стойност на ху по нея самата. Надявам се, че това помага. А може би не. Можем да пресметнем наклона, а след това ординатата на пресечната точка с оста у, означена с b, ще е равна на средната стойност на у, умножена по изчисленото за m тук, което умножаваме по средната стойност от х. И можем да направим това, понеже знаем, че точката с координати (средна стойност на х; средна стойност на у) ще се намира на тази линия на регресия. Та нека ги пресметнем. И ще видиш – в миналия пример разгледахме три точки. Тук имаме само четири точки. Но изчисленията стават все по-трудоемки и по-трудоемки. Можем да си представим какво ще се случи, ако имахме 10, 20 или 100 точки. В такъв случай по-добре би било да използваме калкулатор. Или дори още по-добре – компютър. Или електронна таблица. Та нека пресметнем m. За да го направим, нека изчислим компонентите. Средната стойност на х – средната стойност на тези х – ще е равна на... това х е минус 2, плюс минус 1, плюс 1, плюс 4. Всичко това върху... имаме четири точки данни. Тези два елемента се унищожават. Минус 2 плюс 4 дава 2. 2 върху 4 е равно на 1/2. Нека сега намерим средната стойност на тези у. Имаме минус 3, имаме и минус 1. И след това имаме 2, и после 3. Пак да кажем, че са налице четири точки данни. Този елемент и този елемент се унищожават. Минус 1 плюс 2 е 1. И това е равно на 1/4. Нека сега намерим средната стойност на членовете ху. Т.е. х, умножено по у, средната стойност на този израз. Така тук имаме минус 2, умножено по минус 3. Минус 2, умножено по минус 3, дава плюс 6. Плюс –1, умножено по –1, дава плюс 1. Плюс 1, умножено по 2, е 2. Плюс 4 по 3 е 12. И имаме четири от тези точки. А това какво е? Това е 6 плюс 1, което е 7. 7 плюс 2 е 9. 9 плюс 12 е 21, върху 4. Това е равно на 21/4. И тогава накрая, искаме – тук ще използвам нов цвят – средната стойност на квадратите на тези х. И така, това ще е равно на - минус 2 на квадрат е плюс 4. Плюс минус 1 на квадрат, което е плюс 1. Плюс 1 на квадрат, което е 1. Плюс 4 на квадрат, което е 16. Всичко това върху 4. 4 плюс 2 е 6, плюс 16, е 22, върху 4. И така, имаме 22/4, което си е 11/2. Така че сега сме готови да изчислим действителния наклон. Нека го направя тук. Всъщност ще го направя тук. Иска ми се да мога да погледна всичко, което приключихме. Та това в този случай ще е равно на... ще е средната стойност на членовете ху, която е 21/4. Минус произведението на средната стойност на х, което е 1/2, умножено по средната стойност на членовете у, която е 1/4. И имаме всичко това върху средната стойност от хиксовете на квадрат, която е 11/2. А ние го направихме. Минус средната стойност на х, повдигната на квадрат. И пак, средната стойност на тези х е 1/2. А на какво е равно това? Ще прибегна директно към помощта на калкулатора. Бих могъл да се справя с дробите, но нямаме преговор по събиране, изваждане и умножение на дроби. Така, отиваме при калкулатора. Всъщност нека първо го опростя. Човек се изкушава с опростяване. Нека копирам и поставя. Отиваме тук долу, за да пресметнем. Така че това ще е... може би трябваше да използвам калкулатора, но е прекалено изкушаващо. А това горе какво е? Тук горе имаме 21/4 минус 1/2, умножено по 1/4, което е 1/8. Всичко това върху 11/2 минус 1/2 на квадрат, което е 1/4. Така, един начин за опростяване на това, още от началото, е като умножим числителя и знаменателя по 8. И това е за да се освободим от всички тези дроби. Така, 21/4, умножено по 8 ще е равно на 21, умножено по 2, което е равно на 42. Минус 1/8, умножено по 8. Трябва, разбира се, да съкратим осмиците. Така че ще имаме минус 1. Всичко това върху 8 пъти по 11/2, което ще е 11 пъти по 4, което е 44. И тогава 8 пъти по 1/4 дава 2, така че имаме минус 2. И 42 минус 1 е 41. А 44 минус 2 е 42. Така че наклонът е 41/42. Т.е. малко по-малък е от наклон единица. 42/42 ще е точно 1. Оттам наклонът на линията на регресия е малко по-малък от 1. А пресечната точка на линията на регресия с оста у, т.е. b, ще е равно на средната стойност на у. И 1/4 минус нашия наклон, минус 41/42, умножено по средната стойност на членовете х, т.е. умножено по 1/2. И това ще е равно на 1/4 минус 41/84, което е равно на... да намерим общ знаменател. Това е върху 84. И колко е 1/4 от 84? 1/4 от 80 е 20. Така че това е 21. 21, умножено по 4, е 84. Това е 1/4 от 84. Да, точно така. И ще имаме 21 минус 41 върху 84, което е равно на минус 20... Минус 20 върху 84, което е същото, и двете се делят на 4, числителят, разделен на 4, дава –5, върху 21. И нашата линия на регресия ще има уравнение у = 41/42 х – 5/21. И 5/21 е малко по-малко от 1/4. 5/20 ще е 1/4. Направихме знаменателя малко по-голям, така че това ще е малко по-малко от минус 1/4. Ордината на пресечната точка с оста у ще е малко по-малко от минус 1/4. И тогава ще имаме наклон, малко по-малък от 1. Така че нашата права ще изглежда ето така. Тя е почти... тя е малко по... Ако можех да начертая права линия, тя ще изглежда подобно на това. Така че ще те оставя тук засега. Следващия път всъщност ще пресметнем r квадрат за тази ос. Колко добре съвпада то? Каква част от общото изменение в у-стойностите може да се обясни чрез изменението на х-стойностите или чрез самата права.