Запознаване с функцията аркуссинус

Ако на улицата вървя към теб и те попитам: "Моля кажи ми колко – не исках да го пиша толкова дебело – моля кажи ми колко е синус от π/4." И очевидно приемаме, че работим в радиани. Ти или помниш това, или ще начертаеш единична окръжност ето така. Това не е най-добре изглеждащата единична окръжност, но схвана идеята. Ще отидеш до π/4 радиана, което е същото като 45 градуса. Ще нанесеш този единичен радиус. И синусът се определя като y координатата на пресечната точка с единичната окръжност. Така че просто ще искаш да знаеш тази стойност тук. И веднага ще кажеш: "Добре, това е 45 градуса. " Нека нарисувам триъгълника малко по-голям. Триъгълникът изглежда така. Това е 45. Това е 45. Това е 90 градуса. И можеш да решиш един 45-45-90 триъгълник. Хипотенузата е 1. Това е х. Това е х. Те ще бъдат с една и съща стойност. Това е равнобедрен триъгълник, нали? Ъглите при основата са равни. Така че ще ми кажеш – виж сега, х на квадрат плюс x на квадрат е равно на 1 на квадрат, което е 1. 2 по (x на квадрат) е равно на 1. х на квадрат е равно на 1/2. x е равно на корен квадратен от 1/2, което е 1 върху корен квадратен от 2. Мога да го рационализирам, като умножа това по корен квадратен от 2 върху 2. Да умножа това по корен квадратен от 2 върху корен квадратен от 2. И получавам x е равно на корен квадратен от 2 върху 2. Така че височината тук е корен квадратен от 2 върху 2. И ако искаш да знаеш и това разстояние, то също би било същото. Но нас ни интересува само височината. Тъй като стойността на синус от това е просто тази височина тук. Y координатата. А ние го получихме като корен квадратен от 2 върху 2. Това е само преглед. Научихме това в клипа за единичната окръжност. Но какво ще стане ако някой друг – да речем в друг ден аз дойда при теб и ти кажа – моля те кажи ми колко е аркуссинусът от корен квадратен от 2 върху 2? Какво е аркуссинус? Може би се объркваш малко. Казваш си – знам какво е синус от ъгъл, но това е някаква нова тригонометрична функция, която Сал си е измислил. Трябва да разбереш, че когато има думата 'аркус' пред синус, това може да се запише и като: "Колко е обратната функция на синус от корен квадратен от 2 върху 2?" Единственото, което се пита, е синус от какъв ъгъл трябва да изчисля, за да получа стойността от корен квадратен от 2 върху 2. Това също ни пита синус от какъв ъгъл трябва да изчисля, за да се получи корен квадратен от 2 върху 2. Мога да преобразувам всяко едно от тези твърдения, казвайки корен.... Нека го направя. Мога да пренапиша всяко едно от тези твърдения, казвайки: "Синус от колко е равен на корен квадратен от 2 върху 2?" И това, мисля, е много по-лесен въпрос за теб. Синус от колко е корен квадратен от 2 върху 2? Ами просто изчислявам, че синус от π/4 е корен квадратен от 2 върху 2. В този случай знам, че синус от π /4 е равно на корен квадратен от 2 върху 2. Така че моята въпросителна е равна на π/4. Или можех да пренапиша това като аркуссинус от корен квадратен от 2 върху 2 е равно на π/4. Просто като преглед ти давам стойност и те питам: "Какъв е ъгълът, чиито синус ми дава тази стойност?" Но ти веднага репликираш: "Хей, Сал. Виж..." Нека се върна тук. Казваш ми: "Виж, с π/2 се получи. С 45 градуса също се получи. Но аз мога просто да продължа да добавям 360 градуса или да продължа да добавям 2π. И всички тези ще стават, защото всички тези ще ме водят към тази същата точка от единичната окръжност, нали?" И това ще е така. Ще си мислиш, че всички тези стойности ще са верни отговори на това, нали? Защото ако вземаш синуса на който и да е от тези ъгли, можеш просто да продължиш да добавяш 360 градуса. Ако вземеш синуса на който и да е от тях, ще получиш корен квадратен от 2 върху 2. И това е проблем. Не мога да имам функция f(x), която води до множество стойности, нали? Която води до π/4 или до π/4 плюс 2π или до π/4 плюс 4π. Така че за да бъде това валидна функция – за да бъде валидна аркуссинус функцията, трябва да огранича множеството й от допустими стойности. Просто ще ограничим множеството от стойности по най-естествения начин. Нека ограничим функционалното множество (ФМ). И всъщност, като допълнение – какво е дефиниционното множество (ДМ)? Взимам аркуссинуса от нещо. Ако взема аркуссинус от x, и кажа, че е равен на тита, какво ще е ДМ на това? Кои са допустимите стойности за х? x може да бъде равно на какво? Ами ако взема синуса от произволен ъгъл, мога да получа само стойности между 1 и -1, нали? Така че x ще бъде по-голямо от или равно на -1 и след това по-малко или равно на 1. Това е ДМ за х. Сега, за да направя това валидна функция, трябва да определя функционалното множество. Т.е. да определя допустимите стойности за функцията. Сега за аркуссинуса условието е да се ограничи до първия и четвъртия квадрант. Да ограничим възможните ъгли до тази зона тук, по протежение на единичната окръжност. Така че тита е определена да бъде по-малка или равна на π/2 и след това по-голяма или равна на -π/2. Така представено, разбираме какво е аркуссинусът. Нека да решим още една задача. Ще разчистя малко място тук. Нека направим друг аркуссинус. Да кажем, че те питам колко е аркуссинус от минус корен квадратен от 3 върху 2. Минус корен квадратен от 3 върху 2. Може да знаеш това наизуст. И да кажеш: "Аз знам, че синус от x, или синус от тита е корен квадратен от 3 върху 2." И готово. Но аз не знам това наизуст. Така че нека начертая една единична окръжност. И когато си имам работа с аркуссинус, трябва да начертая само първия и четвъртия квадрант на единичната окръжност. Това е оста y. Това е моята ос x. x и y. И къде съм аз? Ако синус от нещо е минус корен квадратен от 3 върху 2, това означава, че y координатата на точката от единичната окръжност е минус корен квадратен от 3 върху 2. Това означава, че сме точно тук. Това е минус корен квадратен от 3 върху 2. Това е мястото, където сме. Сега, какъв ъгъл ми дава това? Нека помислим малко. Моята y координата е минус корен квадратен от 3 върху 2. Това е ъгълът. Той ще бъде отрицателен ъгъл, защото слизаме под оста x по посока на часовниковата стрелка. И за да го изчисля – нека просто начертая малък триъгълник тук. Нека избера по-добър цвят от това. Това е триъгълник. Нека го направя в този син цвят. Нека уголемя малко този триъгълник. Това е тита. А каква е тази дължина тук? Ами това е същото като дължината на у, можем така да я наречем. Която е корен квадратен от 3 върху 2. Това е минус, защото сме отдолу. Но нека да изчислим този ъгъл. Знаем, че е отрицателен ъгъл. Когато видиш корен квадратен от 3 върху 2, да се надяваме, че разпознаваш, че това е 30-60-90 триъгълник. Корен квадратен от 3 върху 2. Тази страна е 1/2. И тогава, разбира се, тази страна е 1. Защото това е единична окръжност. Така че нейният радиус е 1. И така, в един 30-60-90 триъгълник ъгълът, лежащ срещу корен квадратен от 3 върху 2, е 60 градуса. Този ъгъл тук е 30 градуса. Така че знаем, че нашият ъгъл тита е 60 градуса. Това е величината, но отива надолу, така че е -60 градуса. Тита е равен на -60 градуса. Но ако изчислявахме в радиани, това не е достатъчно добро. Така че можем да умножим това по π радиана за всеки 180 градуса. Градусите се съкращават. И ни остава тита е равно на -π/3 радиана. Сега можем да направим заключението, че аркуссинусът от минус корен квадратен от 3 върху 2 е равен на -π/3 радиана. Или бихме могли да кажем, че обратната функция на синус от минус корен квадратен от 3 върху 2 е -π/3 радиана. И за да потвърдя това, нека просто извадя един калкулатор. Вече го настроих в режим за радиани. Да видим. В режим радиани съм. Знам, че ще получа, надявам се, правилния отговор. И искам да изчисля аркуссинус. Така че аркуссинус – втория до синус бутона – от минус корен квадратен от 3 върху 2. Това е равно на -1,04. Показва ми, че това е равно на -1,04 радиана. Така че π/3 трябва да бъде равно на 1,04. Нека видим дали мога да потвърдя това. Ако трябваше да напиша -π, делено на 3, какво ще получа? Получавам точно същата стойност. Моят калкулатор ми даде абсолютно същата стойност, но тя може да не е толкова полезна, защото калкулаторът ми не ми казва, че това е -π/3.