Тау срещу пи

В това видео искам да преразгледаме това, което знаем за π, и как всъщност изчисляваме ъгли в градуси и радиани и да помислим дали π е най-важното число, на което трябва да обръщаме внимание. Да помислим над това, което казах. π е дефинирано – ще го запиша с тъждествено равно. Може да се каже така: π е дефинирано като отношението на обиколката на окръжност към диаметъра ѝ, което е същото като отношението на обиколката към 2 пъти радиуса на окръжността. Оттам получаваме всички интересни формули от часовете по геометрия. Ако имаме радиуса и искаме да изчислим обиколката, умножаваме двете страни на тази дефиниция по 2 пъти радиуса и получаваме 2 пъти радиуса по π е равно на обиколката или познатото: Обиколката е два пъти π по радиуса. Това е едно от основните неща в геометрията и най-често се ползва за намиране на обиколка (или на радиуса, когато знаем обиколката). Оттам идва единицата за големина на ъгъл – радиани, когато стигнем до тригонометрията. За по-нагледно ще начертая окръжност. Нека я начертая по-добре. Ето я – това е положителната част на оста х и нека начертая един ъгъл тук. Като измерваме ъглите в радиани, всъщност ги разглеждаме като образувани от определена дължина на дъга. Начинът, по който аз разглеждам тези единици, е, че ъгълът е в радиани, а дължината на дъгата – в радиуси, което не е типично, но аз така гледам на нещата. Колко радиуса е дъгата, която формира ъгъла в радиани? Нека ви покажа за какво говоря. Ако радиусът е r, на колко е равна дължината на тази дъга? От геометрията знаем, че цялата обиколка е 2πr, нали? По дефиниция обиколката на цялата окръжност ще е 2πr. Следователно колко е дължината на тази дъга само? Предполагам, че е четвърт от окръжността, т.е. 2πr върху 4. Дължината на тази дъга е 2πr/4, което същото като π/2 по r, тоест π/2 радиуса. Аз интерпретирам това по следния начин: дъгата лежи срещу ъгъл с мярка π/2 на брой радиана. Като измерваме ъглите в радиани, в действителност казваме "добре, ъгълът е определен от дъга, която има дължина толкова радиа. Или как е мн.ч. на радиус?... Всъщност май е "радиуси", но е весело да кажеш радиа. "Радиуси", така ще го казвам, за да не каже някой: "Сал, учиш хората на грешни неща!" "Радиуси". Та дължината на дъгата е π/2 радиуса и лежи срещу ъгъл с мярка π/2 радиана. Да направим още един пример, за да стане по-ясно. Ако обиколим окръжността и се върнем до положителната част на оста х (Ох), колко е дължината на дъгата? Изведнъж дължината на дъгата е цялата обиколка на окръжността, т.е. 2πr, което е същото като 2π радиуса и можем да кажем, че ъгълът, определен от тази дъга – ъгълът, срещу който лежи срещу тази дъга, е 2π радиана. От това произлиза всичко, което знаем за графиките на тригонометричните функции или поне как намираме графиката спрямо оста х, при което се сещам за формула на Ойлер, която е най-красивата формула за мен в математиката. Да разгледаме казаното от мен по-подробно, за да си припомним къде π намира приложение. Ако сега работим с тригонометрични функции, бихме предположили, че това е единичната окръжност. Ако това е дефиниция на триг. функции на единичната окръжност, нещата изглеждат хубави. Имаме окръжност с радиус 1 и триг. функции за всеки ъгъл тита са дефинирани така: косинус от тита се намира при х координатата на пресечната точка на отсечка от центъра на окръжността до дъгата, която образува ъгъла, а синус от тита е равен на у координатата на същата точка. Косинус от тита е х стойността, а синус от тита е у стойността. Ако чертаем графиката на някоя от тези функции – аз ще направя синус от тита, ти може да опиташ с косинус от тита. Нека начертаем графиката на синус от тита. Да видим някои конкретни стойности. При ъгъл 0, синус от тита е 0 – нека начертая координатните оси – това е оста у, а това оста х. При ъгъл 0 в единичната окръжност у е 0, така че синус от тита също е 0. Нека го начертая. Това е тита, а това – графиката на синус по оста у. у е равно на синус от тита на графиката, която чертая. Ще отбележа лесните точки. Ако ъглите са в градуси – за 90 градуса или в радиани – за π/2 радиана, колко е синус тита? Равен е на радиуса, а окръжността е единична, т.е. при тита равно на π/2, синус от тита е 1. Ако видим за 180 градуса или половината от окръжността, тита ще е равен на π. Когато тита е пи, у стойността е отново 0, тоест се върнахме в нулата. Помни, говорим за синус тита, а после можем да слезем до тук, като можеш да разгледаш това като 270 градуса или можеш да го разгледаш като 3пи върху 2 радиана. Това тук, тази ос, е в радиани. Тоест, 3п върху 2 радиана, синус тита е у координатата на единичната окръжност ето тук, така че ще е -1. Тоест, това е -1. Накрая, когато преминеш около цялата окръжност, изминаваш 2 пи радиана, така че си обратно там, откъдето започна, а синус тита или у координатата сега е 0 отново. Ако свържеш точките или ако поставиш повече точки, виждаш синусова крива върху частта, на която направихме графика ето тук. Това е друго приложение. Казваш си: "Ей, Сал, накъде отива това?" Показвам ти, напомням ти всички тези неща, понеже ще преговорим това с число, различно от пи. Така че искам да направя един последен преговор с пи. Казваш: "Виж, пи е мощно нещо" или една от причините пи да изглежда сякаш има мистична мощ и показахме това в плейлистата за висша математика, е заради формулата на Ойлер. е на степен i тита е равно на косинус тита плюс i синус тита. Само по себе си, това е една от тези сложни формули, но понякога изглежда дори по-сложно, когато поставиш пи за тита, понеже тогава от формулата на Ойлер получаваш, че е на степен i пи е равно на – какъв е косинусът на пи? Косинусът на пи е -1, а после синус пи е 0, тоест, 0 по i, тоест получаваш тази формула, която е доста трудна за разбиране и после си казваш, че ако искаш да поставиш всички основни числа заедно в една формула, можеш да добавиш 1 към двете страни на това и после получаваш, че e на степен i пи плюс 1 е равно на 0. Понякога това се нарича тъждество на Ойлер, най-красивата формула или уравнение в цялата математика, като е доста сложно за разбиране. Имаш всички основни числа в едно уравнение - е, i, пи, 1, 0. Въпреки естетичния ми вкус, това би било още по-мощно, ако това тук беше 1. Понеже това е на степен i пи щеше да е равно на единица. Това щеше да е много сложно за разбиране. Изглежда малко банално да добавим 1 към двете страни и "о, виж, сега тук имам 0", но това е доста добро. Но с това ще направя – няма да споря с него – ще покажа аргумент за друго число, число, различно от пи. И искам да изясня, че тези идеи не са мои, това е вдъхновено от – много хора са в това движение, движението Тау, но това са хората, които ме накараха да мисля за това и първи е Робърт Палайс в "Пи е грешно!" и той не спори, че пи е пресметнато грешно, той е съгласен, че то е съотношението на обиколката към диаметъра на окръжността, това е 3,14159. Но той казва, че обръщаме внимание на грешното число. Също имаш и Майкъл Харти, "Манифестът Тау", всичко това е налично онлайн. Те спорят за число, наречено тау или поне те така го наричат, като дефинират "тау" и това е много проста промяна от пи. Те дефинират "тау" НЕ като съотношението на обиколката като диаметъра, съотношението на обиколката към 2 пъти радиуса. Те казват: "Няма ли да е по-естествено да дефинираме число, което е съотношението на обиколката към радиуса?" Както виждаш, пи е просто 1/2 по това тук. Обиколката върху 2r, това е същото като 1/2 по обиколката върху r, така че пи е просто половината от тау. Друг начин да помислим за това е, че тау е просто 2 пъти пи или, ако – и съм сигурен, че вероятно не знаеш това наизуст, понеже не прекарваме целия си живот запаметявайки пи, но това е 6,283185 и продължава, и продължава, и продължава да не се повтаря, точно като пи. Това е 2 по пи. Казваш си: "Сал, това съществува за хилядолетия, защо да си играем с толкова фундаментално число, особено когато си прекарал цялото това време да ни показваш колко важно е това?" Аргументът, който те излагат, и изглежда доста добър аргумент е че всъщност тези неща изглеждат малко по-елегантни, когато обръщаш внимание на това число, вместо на половината от това число, когато обръщаш внимание на тау. Нека прегледаме всичко, което направихме тук, за да видим това. Сега, извеждъж, ако обръщаш внимание на 2пи, а не на пи, ако използваш тау, вместо тау върху 2, колко е този ъгъл, който направихме в пурпурно? Първо, нека помислим за тази формула ето тук, каква е обиколката в съотношение към радиуса? Сега можем да кажем, че обиколката е равна на тау по радиуса, понеже тау е същото нещо като 2 пи. Това прави тази формула по-спретната, въпреки че прави пи r на квадрат малко по-объркано, така че можеш да оспориш двете страни на това, но прави измерването на радианите много по-логично, понеже можеш да кажеш, че това е пи върху 2 радиана или можеш да кажеш, че пи върху 2 радиана е същото нещо като тау върху 4 радиана. Откъде получих това? Помни, ако преминеш около цялата окръжност, това е обиколката, дължината на дъгата ще е обиколката, това ще е тау радиуси или ще е тау радиани. Ъгълът, допиран от тази дължина на дъгата, ще е тау радиани. Пълната обиколка е тау радиани, така че това е логично. Една пълна обиколка е 1 тау радиани. Ако преминеш само четвърт от това, това ще е тау върху 4 радиана. Причината тау тук да е по-логично е, че не трябва да правиш това странно преобразуване, където казваш: "делиш на 2, умножаваш на 2" и всичко това. Колко радиана в съотношение към тау – това представлява броя обиколки, които преминаваш около окръжността, така че ако преминеш 1/4, това е тау/4 радиана. Ако преминеш половината, това ще е тау/2 радиана. Ако преминеш 3/4, това ще е 3тау/4 радиана. Ако преминеш около цялата окръжност, това ще е тау радиани. Ако някой ти каже, че има ъгъл от 10тау радиана, обикаляш точно 10 пъти. Това би било много по-логично, няма да трябва да правиш тези изчисления на ум, да преобразуваш множителя, да делиш на 2, когато преобразуваш радиани в съотношение с пи. Когато го правиш в съотношение с тау радиани, това просто е естествено. 1 обиколка е 1 тау радиани. Това прави синусовата финкция ето тук, вместо да пишем пи върху 2, когато погледнеш графиката, къде беше това на единичната окръжност? Това е 1/4 около окръжността, беше ли това 1/2? Всъщност, това е 1/4 от окръжността. Ето тук си, но сега става очевидно, ако го запишеш в тау. Пи върху 2 е същото като тау върху 4. Пи е същото нещо като тау върху 2. 3пи върху 2 е 3 тау върху 4, 3/4 тау. 1 обиколка е тау. После, веднага, когато го погледнеш по този начин, знаеш точно къде си на единичната окръжност. Сега си 1/4 около единичната окръжност, на половината от единичната окръжност. Сега си 3/4 около единичната окръжност и после изминаваш пълна обиколка около единичната окръжност. Последното нещо, което хората, защитаващи пи, ще кажат е: "Сал, току-що изтъкна едно от най-красивите тъждества или формули в математиката, как тау ще издържи това?" Е, нека просто го изпробваме и да видим какво се случва. Ако вземем е на степен i тау, това ще ни даде косинус на тау плюс i синус на тау. Отново, нека помислим какво е това. Тау радиани означава, че сме преминали около цялата единична окръжност, тоест, косинус тау – помни, обратно в началото на единичната окръжност сме – косинус тау е равен на 1, а синус на тау е равно на 0. Синус на тау е равно на 0. Тоест, е на степен i тау е равно на 1. Ще оставя на теб да решиш кое изглежда по-естетически значимо.