Основно съдържание

Курс: Библиотека по физика > Раздел 12

Урок 1: Закон на Ом и вериги с резистори

Закони на Кирхоф

Законите на Кирхоф описват тока във възел и напрежението по затворен контур. Тези два закона са основата на анализа на електрически вериги за напреднали. Написано от Уили МакАлистър

Законите на Кирхоф за ток и напрежение са в основата на анализа на електрически вериги. С тези два закона, плюс уравненията за отделни елементи (съпротивление, кондензатор, намотка), имаме основния инструментариум, който ни е нужен, за да анализираме електрически вериги.

В тази статия се предполага, че вече си запознат с дефинициите на възел, разпределен възел, клон и контур.
Може да вземеш лист и химикалка, за да работиш върху примерните задачи.

Ток във възел

Опитай се да разсъждаваш за този пример самостоятелно, преди да говорим за теорията. Схемата по-долу показва четири клона, по които тече ток към и от разпределения възел. Различните токове са в милиампери,

mA

. Един от токовете,

i

, е неизвестен.

Задача 1: Колко е $i$ ‍?

Има интуитивен смисъл в това, че токът, който влиза във възела, намира начин да излезе от него по някои други клони. Все пак не очакваме заряд да се насъбира във възела.

6 mA

влизат във възела (

5

отляво и

1

отдясно), така че

6 mA

трябва да излязат отнякъде.

2 mA

излизат отгоре, тоест остават

4 mA

, които трябва да излизат от долния клон

i

. Синята стрелка за

i

сочи навън от възела по посока на тока, следователно отговорът е положителен.

i = 4 mA

Ето друг пример. Този път само с имена на променливите, вместо с числени стойности. Този възел има

5

клона. Във всеки клон тече ток, означен с от

i_{1} до i_{5}

(всеки от тях може да бъде и нулев).

Всички стрелки са насочени навътре. Този избор на посока е произволен. Стрелките, които сочат навътре, са също толкова добър избор, колкото всеки друг. Стрелките задават отправна посока за това, което решаваме да наричаме положителен ток.

Погледни тока

i_{1}

.
Къде отива той?

Първото, което

i_{1}

прави, е да отива във възела (означен с черната точка).

После какво?

Ето две неща, които

i_{1}

не може да направи: Зарядът, който тече по клона

i_{1}

, не може да остане във възела. (Възелът няма място, в което да съхранява заряд). И зарядът на

i_{1}

не може да излезе от проводника и да иде във въздуха. Зарядът не прави такива неща при нормални условия.

Какво остава? Токът трябва да изтече от възела към един или повече от клоновете.

За нашия примерен възел бихме написали това като:

i_{1} + i_{2} + i_{3} + i_{4} + i_{5} = 0

Ако

i_{1}

е положителен ток, постъпващ във възела, тогава един или повече от другите токове трябва да изтича от възела. Тези изходящи токове ще имат отрицателен знак

-

Това наблюдение за токове, постъпващи в един възел, е добре формулирано в първия закон на Кирхоф – за възел от електрическа верига.

Закон на Кирхоф за възел от електрическа верига

Законът на Кирхоф за възел от електрическа верига гласи, че сумата от токовете, втичащи се в даден възел, е равна на сумата от токовете, които изтичат от него. Можем да запишем това като:

\sum i_{i n} = \sum i_{o u t}

Символът

\sum

е главната гръцка буква сигма. В математиката се използва за означение на операцията сумиране. Изразът:

i_{1} + i_{2} + i_{3} + i_{4} + i_{5}

може да бъде записан компактно като

\sum_{n = 1}^{n = 5} i_{n}

Разбира се, че

n

приема стойностите от долната граница

(1)

до горната граница

(5)

, правейки стъпки по

1

Закон на Кирхоф за възел от електрическа верига – проверка на концепциите

Токовете са в милиампери,

mA

Задача 2: Колко е $i_{5}$ ‍?

Направо приложи първия закон на Кирхоф.

\sum_{n} i_{n} = 0

Съвет: Преди да започнеш, провери стрелките. Навън ли сочат, навътре ли или някои навън, други навътре? Тази стъпка ще те спаси от много често срещана грешка в знаците.

Всички стрелки в този пример сочат към възела. Така че можем да сумираме числата така, както са записани.

Субери токовете по петте клона и запиши, че сумата е равна на

0

1 + 4 + (- 2) + 3 + i_{5} = 0

Намери

i_{5}

i_{5} = - [1 + 4 - 2 + 3]

i_{5} = - 6 mA

Задача3: Колко е $i_{3}$ ‍ в този възел?

Този въпрос тества уменията ти да работиш със стрелки и знаци. Посоките на стрелките са най-различни, някои са навътре, някои са навън. Заеми се бавно и методично и не обърквай знаците. Това ни подтиква да разделим задачата на две стъпки.

Начертай още веднъж възела с всички стрелки, сочещи в една и съща посока (или всички навън, или всички навътре), като коригираш знаците, където е необходимо.
Приложи първия закон на Кирхов.

Стъпка 1. Стрелката за

i_{3}

сочи навън. Не искаме да забравяме, че така стратегията ще бъде да направим всички други стрелки да сочат в същата посока като

i_{3}

, със съответните корекции на знаците на тока. Като гледаме първоначалната диаграма, трябва да обърнем две стрелки и съответните два знака. Преначертаната схема по-долу има потоци от

- 4

+ 1

, които излизат навън.

Стъпка 2. Приложи първия закон на Кирхов. Можем да използваме тази форма на първия закон на Кирхов, която гласи "Сумата на всички токове, които изтичат от възел на електрическа верига, е нула". Така че събираме всички токове "навън" и записваме, че сумата е нула.

- 4 + 6 + i_{3} + 1 + (- 3) = 0

Намираме

i_{3}

i_{3} = - [- 4 + 6 + 1 + (- 3)]

i_{3} = 0 mA

Няма ток, който да тече по клона, означен с

i_{3}

Напрежение по затворен контур

По-долу е дадена схема с четири резистора и източник на напрежение. Ще решим това от самото начало, като използваме закона на Ом. Тогава ще разгледаме резултата и ще направим някои наблюдения. Първата стъпка в решаването е да се изчисли токът. След това ще изчислим напрежението при отделните резистори.

Забелязваме, че резисторите са свързани последователно, така че има само един ток

i

, който протича и през петте елемента. За да намерим

i

, четирите последователно свързани резистора могат да бъдат представени с един еквивалентен резистор:

R_{s e r i e s} = 100 + 200 + 300 + 400 = 1000 Ω

Като използваме закона на Ом, токът е:

i = \frac{V}{R_{s e r i e s}} = \frac{20 V}{1000 Ω} = 0,020 A = 20 mA

Сега знаем тока. След това намираме напреженията в четирите резистора. Върни се на първоначалната схема и напиши напреженията на всичките пет елемента:

Приложи закона на Ом четири пъти, за да намериш напреженията.

v = i R

v_{R1} = 20 mA \cdot 100 Ω = + 2 V

v_{R2} = 20 mA \cdot 200 Ω = + 4 V

v_{R3} = 20 mA \cdot 300 Ω = + 6 V

v_{R4} = 20 mA \cdot 400 Ω = + 8 V

Знаем тока и всички напрежения. Веригата е решена.

Можем да запишем напреженията на резисторите и източника на схемата. Петте напрежения се наричат напрежения на елементи. (Възлите на веригата се наименоват с буквите от

a

до

e

, за да можем да ги посочваме по-късно.)

Да направим бърза проверка. Събери напреженията на резисторите.

2 V + 4 V + 6 V + 8 V = 20 V

Сумата на отделните напрежения на резисторите е равна на напрежението на източника. Това има смисъл и потвърждава сметките ни.

Сега отново събираме напреженията, като използваме малко по-различна процедура: като "обикаляме контура". Няма нищо ново, просто пренареждаме същата сметка.

Процедура: Добавяне на напрежения на елементите по затворен контур

Стъпка 1: Избери начален възел.

Стъпка 2: Избери посока, по която да се движиш около контура (по или обратно на часовниковата стрелка).

Стъпка 3: Обиколи контура.

Включи напреженията на елементите в растяща сума, според тези правила:

Когато срещнеш нов елемент, виж знака на напрежението при навлизане в елемента.
Ако знакът е $+$ ‍, тогава ще има спад на напрежението в елемента. Извади напрежението на елемента.
Ако знакът е $-$ ‍, ще има увеличение на напрежението в елемента. Прибави напрежението на елемента.
В някои учебници е формулирано други правило за обхождане на контура. Правилото е еквивалентно на това по-горе и дава същите резултати.
Когато срещнеш нов елемент, виж знака на напрежението, докато се приближаваш към елемента.
Ако знакът е $+$ ‍, прибави напрежението на елемента
Ако знакът е $-$ ‍, извади напрежението на елемента.
Това правило не използва идеята за увеличение и спад в напрежението, но може да бъде по-просто за запомняне. Изборът е твой. Важното е да не смесваш двете правила.

Стъпка 4: продължи около контура, докато достигнеш началната точка, като минеш през всички елементи от контура.

Прилагане на процедурата за контур

Да следваме процедурата стъпка по стъпка.

Започни долу вляво от възел $a$ ‍.
Обхождай по посока на часовниковата стрелка.

Първият елемент, до който стигаме, е източникът на напрежение. Първият знак, който срещаме е знак минус $-$ ‍ така че ще има нарастване на напрежението при този елемент. Съгласно стъпка 3 от процедурата, започваме събирането, като прибавяме напрежението на източника.
‍

v_{к о н т у р} = + 20 V

, като минаваме през източника на напрежение до възела

b

Следващият елемент, който срещаме, е съпротивление от

100 Ω

. Неговият най-близък знак на напрежението е

+

. Проверяваме отново процедурата и този път изваждаме напрежението на елемента от нарастващата сума.

v_{к о н т у р} = + 20 V - 2 V

, минаващи през резистора от

100 Ω

към възел

c

Продължаваме. След това срещаме резистора от

200 Ω

и отново първо срещаме знак

+

, така че изваждаме напрежението.

v_{к о н т у р} = + 20 V - 2 V - 4 V

, минаващи през резистора от

200 Ω

към възел

d

Завършваме контура, като прибавяме и останалите два елемента.

v_{к о н т у р} = + 20 V - 2 V - 4 V - 6 V

през резистора от

300 Ω

към възел

e

v_{к о н т у р} = + 20 V - 2 V - 4 V - 6 V - 8 V

след резистора от

400 Ω

(Провери диаграмата и се убеди, че последните два знака минус (

-

) са правилни.)

Готово. Върнахме се до възел $a$ ‍. Колко е сумата за $v_{к о н т у р}$ ‍?
‍

v_{к о н т у р} = + 20 V - 2 V - 4 V - 6 V - 8 V = 0

Сумата от напреженията при обхождане на контура е

0

. Началният възел съвпада с крайния, така че началното и крайното напрежение са едни и същи. При "разходката" сме минали през повишавания и спадове на напрежението и всички те се компенсират, когато се върнем на мястото, където сме започнали. Това се случва, защото електричната сила е консервативна. Няма сумарна печалба или загуба на енергия, ако се върнеш на същото място, от където си започнал.

Ще решим и друг пример, този път с имена на променливи, вместо с числени стойности. Следната позната схема е означена с напрежения и имена на възли. Полярността на напрежението на резисторите е подредена може би не така, както очакваш, като всички стрелки сочат в една и съща посока около цикъла. Това разкрива приятно свойство на веригите.

Да се разходим около контура, като прибавяме напреженията. Началната ни точка е

a

в долния ляв ъгъл. Разхождаме се по посока на часовниковата стрелка по контура (произволен избор, и двата вършат работа).

Започваме от възел

a

, като се движим нагоре, и първо срещаме знак минус на източника на напрежение, което ни показва, че има увеличение на напрежението от

v_{a b}

волта, когато минаваме през източника. Тъй като това е увеличаване на напрежението, този елемент получава знак

+

, когато го включим в сумата на контура.

Продължаваме по контура от възел

b

към

c

към

d

към

e

и завършваме отново в

a

. Събираме напреженията на резисторите по пътя. Означенията на полярността на резисторите са наредени така, че да срещаме знаци (

-

), като се приближаваме към всеки резистор. Тоест напреженията на резисторите се прибавят към сумата на контура със знак (

+

). Крайната сума на контура изглежда така:

+ v_{ab} + v_{R1} + v_{R2} + v_{R3} + v_{R4}

Каква е сумата на това? Нека се обосновем.

Контурът започва и завършва в една и съща точка, така че началното и крайното съпротивление са еднакви. Обиколихме контура, като прибавяхме напреженията, и се оказваме пак със същото напрежение. Това означава, че напреженията трябва да дават сбор нула. За нашия примерен контур бихме записали това като:

v_{ab} + v_{R1} + v_{R2} + v_{R3} + v_{R4} = 0

Да предположим, че напреженията по затворения контур имат сума, различна от нула. Стигаме до абсурден извод.

Какво става, ако по някакъв начин напреженията по затворения контур имат сума

+ 1

волт. Това означава, че ако започнеш от възел

a

и обходиш контура, проследявайки напреженията, докато го обхождаш, пристигаш пак във възел

a

и напрежението някак е станало с

1

волт по-голямо, отколкото е било в началото. (Ъ?!). Ако обходиш контура втори път, напрежението във възел

a

става

2

волта (Двойно Ъ?!!) Това не може да се случва.

Напрежението във възел

a

не се променя от това, че сме сметнали нещо в главата си. Сумата от напреженията по затворен контур трябва да е нула.

Като обхождаме обратно на часовниковата стрелка, когато срещаме всеки елемент, първо ще стигаме до знак

+

. Провери процедурата по-горе за добавяне на напрежения на елементи по затворен контур, за да видиш как да прибавиш напрежението на всеки елемент в растящата сума.

Напрежението на всеки елемент получава знак (

-

) в сумата от контура.

- v_{R4} - v_{R3} - v_{R2} - v_{R1} - v_{ab} = 0

Допълнително забавление: Обърни внимание, че можем да изнесем пред скоби и да пренаредим този израз, така че да изглежда като уравнението по посока на часовниковата стрлка:

- (v_{R4} + v_{R3} + v_{R2} + v_{R1} + v_{ab}) = 0

v_{ab} + v_{R1} + v_{R2} + v_{R3} + v_{R4} = 0

Накрая няма значение в коя посока сме обходили контура.

Това наблюдение за напрежения по контур е добре формулирано във втория закон на Кирхоф – за затворен контур на електрическа верига.

Втори закон на Кирхов

Втори закон на Кирхов: Сумата на напреженията по затворен контур е нула.

Вторият закон на Кирхов може да се запише като:

\sum_{n} v_{n} = 0

където

n

е броят на напреженията на елементите по контура.

Можем също да формулираме втория закон на Кирхов по друг начин: Сумата от увеличенията в напрежението е равна на сумата от спадовете в напрежението по затворен контур.

\sum v_{у в е л .} = \sum v_{с п а д}

Вторият закон на Кирхов има някои хубави свойства:

Можеш да обходиш затворен контур, като започнеш от произволен възел. Обхождаш контура и се озоваваш обратно на същото място, като сумата от напреженията по контура е нула.
Можеш да обхождаш контура в каквато искаш посока – по или обратно на часовниковата стрелка. Вторият закон на Кирхов пак важи.
Ако дадена верига има повече от един затворен контур, вторият закон на Кирхов важи за всеки от тях.

Само положителни напрежения?

Ако се чудиш как може напреженията на елементите да бъдат всички положителни, ако сумата им е нула, всичко е наред. Стрелките за напрежението и знаците за полярност са само насочващи посоки за напрежение. Когато анализът на веригата е завършен, едно или повече от напреженията на елементите около веригата ще бъдат отрицателни по отношение на стрелката на напрежението. Знаците за действителните напрежения винаги се подреждат при изчисленията.

Закон на Кирхоф за затворен контур на електрическа верига – проверка на концепциите

Задача 4: Какво е $v_{R 3}$ ‍?

Напомняне: Провери първия знак на напрежението за всеки елемент, когато обхождаш контура.

Използвай втория закон на Кирхов, за да решиш тази задача.

\sum_{n} v_{n} = 0

Избери възел, от който да започнеш. Възел

A

е добър като всеки друг. Ще обхождаме контура по посока на часовниковата стрелка.

Стрелките за напрежение са най-различни, не всички сочат в една и съща посока по контура. Така че когато напишем следващото уравнение, много ще внимаваме с полярността на напрежението за всеки елемент от контура. Консултирай се с процедурата: добавяне на напрежения на елементите по затворен контур, за да си припомниш коя посока на стрелка на напрежението какъв знак получава.

+ 15 + (- 5) + (- 3) + (- v_{R3}) + (- 1) = 0

Трудната част е да не объркаш знаците. Това е основното умение, което ти е нужно за прилагане на законите на Кирхов.

+ 15 - 5 - 3 + (- 1) = v_{R3}

v_{R3} = + 6 V

Провери посоката на стрелката на напрежението на R3. Тя сочи нагоре от възела

e

към възел

d

. Положителният резултат за

v_{R3}

означава, че възел

d

има

6

волта повече от възел

e

Още упражнения: Реши същата задача отново, но обходи контура в противоположна посока. Трябва да получиш същия отговор.

Обобщение

Запознаха ни с двама нови приятели.

Закон за възел от електрическа верига

\sum_{n} i_{n} = 0

Закон на Кирхов за затворен контур на електрическа верига

\sum_{n} v_{n} = 0

Често наричаме тези двама нови приятели Първи и Втори закон на Кирхов.

И научихме, че е важно да внимаваме за знаците на напрежението и тока, ако искаме верни отговори. Това е досадна работа, която изисква внимание към детайлите. Ключово качество е на добрия електроинженер.

Законите на Кирхоф са всъщност приближения, изведени от уравненията на Максуел за електромагнетизма. Законите на Кирхоф се прилагат, когато размерът на компонентите в една верига е много по-малък от дължината на вълната на сигналите, преминаващи през веригата. Това опростяване важи за почти всяка верига, която ще срещнеш в началното си изучаване на електротехниката.

Ако искаш да научиш повече за това извличане, добри източници са:

"Foundations of Analog and Digital Electronic Circuits" от Anant Agarwal и Jeffery H. Lang, Elsevier Inc, 2005, Приложение 2A.

"The Design of CMOS Radio-Frequency Integrated Circuits, 2-ро издание от Thomas H. Lee, Cambridge University Press, Глава 6, Distributed Systems.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.