Извеждане на уравнението на Бернули, част 2

Това е кратък преговор на това, което правихме в предишното видео. Имахме тази тръба със странна форма и навлизащата течност имаше входяща скорост v1. Налягането вляво, което буташе надясно, е Р1, а площта на тази дупка е А1. Всичко, което има същите променливи, но с цифра 2, излиза от тръбата. Това, което решихме в последното видео, е, че казахме, че според закона за запазване на енергията, джаулите, енергията в тази точка на системата, или която поставяме в системата, трябва да е равна на енергията, която излиза от системата. Използвахме тази информация, за да създадем това голямо уравнение, но то не е твърде сложно. Намерихме, че работата, влизаща в системата, беше входящото налягане по масата на обема за някакъв период от време, делено на плътността на вида течност, който имаме, потенциалната енергия – това обикновено е просто mgh, където масата е масата на тази струя течност. Казваме колко работа е била извършена за някакъв период от време t? Това е начинът, по който аз бих мислил за това. Колко енергия имаше тук за някакъв период от време t? Кинетичната енергия за този период от време би била масата на този обем течност по неговата скорост на квадрат делено на 2. Това е типичната кинетична енергия. Разбира се, това трябва да е равно на изходящата енергия и това е изходящата работа, или колко работа един стълб вода може да извърши от изходящата страна. Заомни, че това е равен обем вода. За някакъв период от време t, какъвто обем вода беше това, равен обем вода – може би сега ще е в този по-дълъг цилиндър, понеже ще се движи по-бързо. От изходящата страна е този по-дълъг цилиндър, за който говорим, но това ще е същият обем и същата маса. Казваме, че работата, която този стълб може да извърши в същото това количество време, ще е изходящото налягане по масата на този стълб, делено на плътността на стълба – което е същото, понеже плътността на водата през цялото време е една и съща – по масата на този стълб, която е същата като масата на този стълб, понеже обемът и плътността не са се променили, така че масите са еднакви. Този стълб има повече потенциална енергия. Той е при h2, което приемам, че е по-високо от h1. Кинетичната енергия е просто масата на този стълб течност по неговата скорост на квадрат, което е изходящата скорост делено на 2. Това е изходящата потенциална енергия, а това е изходящата кинетична енергия. Тези двете са равни. Това е уравнението на Бернули, но да видим дали можем да го поразчистим малко, за да се отървем от променливите, които не ни е нужно да знаем. Едно нещо, което виждаме, е, че има m във всеки член, така че нека се отървем от него. Делим двете страни на това уравнение на m. Получаваме това. Не ми харесва тази плътност в знаменателя, така че нека умножим двете страни на това уравнение по плътността. И ни остава – нека запиша това в ярък цвят. Р, входящото налягане, плюс – и умножаваме всичко по това "ро", тази плътност. Имаме входящо налягане плюс "ро" g h1, входящата височина, началната височина, плюс "ро" v^2 върху 2. Това е "ро" v^2 върху 2 и това е равно на – умножихме двете страни по "ро", така че получаваме – това е входящата скорост – това е равно на изходящото налягане плюс плътността по гравитацията по изходящата височина. Нека направим всичко последователно. Записах 2 тук, така че нека просто кажем, че това е налягане 2, това е височина 2, плюс "ро" по скоростта на квадрат. Това е уравнението на Бернули и има всякакви доста, бих казал приятни, отражения. Например да приемем, че височината остава константа, така че можем да игнорираме тези средни членове. Ако височината е константа, ако имам по-висока скорост и целият този член е константа, тогава налягането ми ще е по-ниско. Помисли: ако височината е константа, това не се променя, но ако тази скорост се увеличи, но цялото това нещо е константа, налягането трябва да намалее. Подобно, ако налягането се увеличи, тогава скоростта ще намалее. Това може да ти се вижда нелогично, но по обратния начин може да е доста логично. Когато скоростта се увеличи, налягането ще намалее и именно това кара самолетите да летят и множество готини неща да се случват, но ще се задълбочим повече в това след малко. Да видим дали можем да използваме уравнението на Бернули, за да направим нещо полезно. Трябва да запомниш това и не би трябвало да е твърде трудно да го запомниш. Това е налягането и после имаш този член за потенциалната енергия, но вместо масата имаш плътност. Имаш този член за кинетична енергия. Това вече не е кинетична енергия, понеже го обработихме малко, но вместо маса имаш плътност. Като казахме това, нека решим една задача. Ще запазя това тук долу, тъй като вероятно не го помниш още. Нека изтрия всичко друго. Не искам да го изтрия така. Не така искам да го изтрия. Исках да го изтрия, така че да не изтривам нищо полезно. Това е добре. И нека поразчистя. Да поразчистя това. Да кажем, че имам една чаша. Ще начертая една чаша. Понякога е по-лесно да начертаеш чаша, отколкото прави линии. Не, това е твърде тъмно. Ще използвам лилаво. Използвам супер широк инструмент. Трябва да променя дължината. Добре, това е чашата ми. Тя има някаква течност. Да кажем, че има капак и имам някаква течност. Може би тя е червена. Още не сме работили с червени течности. Нека – о, не исках да направя това. Знаеш, че тук има течност. И да кажем, че няма въздух, така че това е вакуум. Да кажем, че h – не знаем какви са мерните единици, но да кажем h метра под повърхността на течността. Всичко това е течност. Пробивам дупка тук и течността започва да се процежда. Въпросът ми е: "Каква е изходящата скорост на течността като функция на тази височина?" Нека ти кажа още нещо. Да кажем, че тази дупка е толкова малка – нека наречем площта на дупката А2 и да кажем, че площта на повърхността на водата е А1. Да кажем, че тази дупка е толкова малка, че площта на повърхността на водата – да кажем, че А2 е равно на 1/1000 от А1. Това е малка дупка в сравнение с площта на повърхността на тази чаша. Като казахме това, да видим какво можем да направим, за да намерим изходящата скорост. Уравнението на Бернули ни казва, че входящото налягане плюс входящата потенциална енергия плюс входящата кинетична енергия е равно на изходящата... и така нататък. Какво е това входящо налягане? Входящото налягане, налягането в тази точка, няма въздух или течност над нея, така че налягането в тази точка е 0. Каква е входящата височина? Да приемем, че дупката е направена на височина 0, h = 0, тоест входящата височина h1 е просто h. Ако това е 0, тогава тази височина тук е h. Каква е входящата скорост? Знаем от уравнението за непрекъснатост, или както беше наречено това, че входящата скорост по входящата площ е равна на изходящата скорост по изходящата площ. Също знаем, че изходящата площ е равна на 1/1000 от входящата площ – а това е площ 2 – тоест знаем, че входящата скорост по площ 1 е равно на изходящата скорост по 1/1000 от площ 1. Можем да кажем "площ 1 върху 1000" и да разделим двете страни на площ 1. Знаем, че входящата скорост е равна на v2 върху 1000, добре е да знаем това. Това са трите входящи стойности от лявата страна на уравнението на Бернули. Какво има в дясната страна на уравнението на Бернули? Какво е Р2? Какво е налягането в тази точка? О, свърши ми времето. Ще продължа това в следващото видео.