Основно съдържание

Курс: Библиотека по физика > Раздел 3

Урок 5: Наклонени равнини и триене

Какво са наклонените равнини?

Повърхностите най-често не са съвсем хоризонтално. Научи се как да се справяш с наклони!

Какво са наклонените равнини?

Пързалки в парка, стръмни шосета и рампи за товарене на камиони са все примери за наклонени равнини. Наклонените равнини са диагонално разположени повърхности, по които обекти могат да седят, да се плъзгат нагоре или надолу, или да се търкалят.

Наклонените равнини са полезни, тъй като могат да намалят силата, която е необходима за преместване на обект вертикално. Наклонената равнина се причислява към шестте класически прости механизма.

Шестте класически прости механизма са механични устройства, които дават механично предимство (т.е. намаляват силата, необходима за извършването на някаква работа). Шестте прости механизма са лост, колело с ос, макара, наклонена равнина, клин и винт.

Простите механизми са готини, защото могат да намалят големината на силата, която е необходима за преместване на обект. Например рампата за товарене на камион (т.е. наклонена равнина) може да намали количеството сила, която трябва да приложиш, за да преместиш даден обект вертикално. Това може да звучи твърде добре, за да е истина, но има и лек недостатък. Силата, която ще трябва да приложиш, ще намалее (като използваш рампа). но разстоянието, за което ще трябва да я приложиш, ще се увеличи.

Как използваме втория закон на Нютон, когато си имаме работа с наклонени равнини?

В повечето случаи решаваме задачи за сили, като използваме втория закон на Нютон за хоризонтално и вертикално направление. Но за наклонени равнини най-често ни интересува движението, успоредно за втория закон на Нютон за направлението успоредно на и перпендикулярно на наклонената равнина.

Това означава, че обикновено ще използваме втория закон на Нютон за направленията перпендикулярно $⊥$ ‍ и успоредно $∥$ ‍ на наклонената равнина.

a_{⊥} = \frac{Σ F_{⊥}}{m} a_{∥} = \frac{Σ F_{∥}}{m}

Тъй като обектът обикновено се плъзга успоредно на наклонената равнина, а не се мести перпендикулярно на нея, почти винаги можем да предполагаме, че

a_{⊥} = 0

Тъй като обектът обикновено не се движи перпендикулярно на равнината, скоростта в перпендикулярна посока е нула. И тъй като перпендикулярната скорост не се променя (все е нула), перпендикулярното ускорение на обекта също е нула.

Как намираме $⊥$ ‍ и $∥$ ‍ компоненти на гравитационната сила?

Тъй като ще използваме втория закон на Нютон за направления, перпендикулярни и успоредни на наклонената равнина, ще трябва също така да определим перпендикулярната и успоредната компонента на гравитационната сила.

Компонентите на силата на гравитацията са дадени на диаграмата по-долу. Внимавай, хората често бъркат дали трябва да използват

синус

или

косинус

за дадена компонента.

Хората често се затрудняват да разберат как гравитационната сила се разлага на перпендикулярна и успоредна компонента, така че нека да направим това стъпка по стъпка.

Обърни внимание, че гравитационната сила $F_{g} = m g$ ‍ сочи право надолу.

Гравитационната сила може да бъде разложена на компоненти, които са успоредни $F_{g ∥}$ ‍ и перпендикулярни $F_{g ⊥}$ ‍ на наклонената равнина.

Когато разлагаме силата на гравитацията за обект на наклон, чертаем едната от компонентите успоредна на наклонената равнина, а другата компонента – перпендикулярна на наклонената равнина.

Обърни внимание, че можем да начертаем компонентите също и по начина, показан по-долу. И двата начина за начертаване компонентите на гравитационната сила са правилни.

Горният ляв ъгъл $ϕ$ ‍ на наклонената равнина е същият като ъгъла $ϕ$ ‍ между успоредната компонента на гравитационната сила $F_{g ∥}$ ‍ и цялата гравитационна сила $m g$ ‍. Обърни внимание, че всъщност не ни интересува този ъгъл, но той ни позволява да намерим третия ъгъл в следващата стъпка (който вече ни интересува).

Два от ъглите на наклонената равнина (десният ъгъл и $ϕ$ ‍) са същите като ъглите за триъгълника, който формира компонентите на силата на гравитацията. Най-крайният долен ъгъл между $m g$ ‍ и $F_{g ⊥}$ ‍ трябва да е същият като долния прав ъгъл на наклонената равнина $θ$ ‍, тъй като сумата от ъглите на триъгълник е $180^{o}$ ‍ (т.е. ако два триъгълника имат два еднакви ъгъла, трябва да имат и трети еднакъв ъгъл.)

Сега, като знаем този ъгъл отдолу между $m g$ ‍ и $F_{g ⊥}$ ‍, можем да използваме дефиницията за $синус$ ‍, за да получим:

\sin θ = \frac{срещулежащ катет}{хипотенуза} = \frac{F_{g ∥}}{m g}

Или като изразим

F_{g ∥}

, получаваме:

F_{g ∥} = m g \sin θ

Аналогично, ако използваме дефиницията за

cosine

, получаваме:

\cos θ = \frac{прилежащ катет}{хипотенуза} = \frac{F_{g ⊥}}{m g}

Или като изразим

F_{g ⊥}

, получаваме:

F_{g ⊥} = m g \cos θ

Каква е нормалната сила $F_{N}$ ‍ за обект върху наклонена равнина?

Нормалната сила

F_{N}

(на реакция на опората) е винаги перпендикулярна на повърхността, която прилага силата. Така че наклонена равнина ще упражнява нормална сила перпендикулярно на повърхността си.

Ако няма ускорение, перпендикулярно на наклонената равнина, силите в перпендикулярното направление трябва да се балансират. Като гледаме силите, показани по-долу, виждаме, че нормалната сила трябва да е равна по големина на перпендикулярната компонента на гравитационната сила, за да се гарантира, че сумарната сила е нула в перпендикулярното направление.

С други думи, за обект, който стои или се плъзга по наклонена равнина.

F_{N} = m g \cos θ

Можем да използваме втория закон на Нютон за направлението, перпендикулярно на повърхността, и получаваме:

a_{⊥} = \frac{Σ F_{⊥}}{m} (използваме втория закон на Нютон за перпендикулярното направление)

0 = \frac{Σ F_{⊥}}{m} (a_{⊥} е нула, тъй като няма движение, перпендикулярно на повърхността)

0 = \frac{F_{N} - m g \cos θ}{m} (Замести с F_{N} и перпендикулярната компонента на F_{g})

0 = F_{N} - m g \cos θ (умножи двете страни по m)

F_{N} = m g \cos θ (Намери F_{N})

Това показва, че нормалната сила на наклонена равнина има големина

m g \cos θ

(като приемаме, че няма други перпендикулярни сили).

Как изглеждат решени примери с наклонени равнини?

Пример 1: Шейна

Дете се пързаля на заснежен хълм с шейна. Ъгълът между склона на хълма и хоризонтала е

θ = 30^{o}

, а коефициентът на кинетично триене между шейната и хълма е

μ_{k} = 0,150

. Общата маса на детето и шейната е

65, 0 kg

Какво е ускорението на шейната надолу по хълма?

Ще започнем, като начертаем диаграма на силите.

Можем да използваме втория закон на Нютон за направление, успоредно на наклонената равнина, за да получим:

\begin{aligned} a_{∥} & = \frac{Σ F_{∥}}{m} (използваме втория закон на Нютон за успоредни посоки) \\ a_{∥} & = \frac{m g \sin θ - F_{k}}{m} (заместваме успоредните сили) \\ a_{∥} & = \frac{m g \sin θ - μ_{k} F_{N}}{m} (заместваме формулата за силата на триене при движение) \\ a_{∥} & = \frac{m g \sin θ - μ_{k} (m g \cos θ)}{m} (заместваме с m g \cos θ като нормална сила F_{N}) \\ a_{∥} & = \frac{m g \sin θ - μ_{k} (m g \cos θ)}{m} (съкращаваме масите в числителя и знаменателя) \\ a_{∥} & = g \sin θ - μ_{k} (g \cos θ) (не е ли удивително, че ускорението не зависи от масата) \\ a_{∥} & = (9, 8 \frac{m}{s^{2}}) \sin 30^{\circ} - (0,150) (9, 8 \frac{m}{s^{2}}) \cos 30^{\circ} (заместваме с числовите стойности) \\ a_{∥} & = 3, 63 \frac{m}{s^{2}} (изчисляваме и можем да празнуваме!) \end{aligned}

Пример 2: Стръмна уличка

Една жена си строи къща и иска да знае колко стръмна може да направи уличката си, за да може все пак да паркира колата си на нея. Тя знае, че коефициентът на статично триене между гумите ѝ и бетонната уличка е

0, 75

Какъв е максималният ъгъл между хоризонтала и уличката, при който жената все пак ще може да паркира колата си?

Ще започнем с прилагане на втория закон на Нютон за успоредното направление.

\begin{aligned} a_{∥} & = \frac{Σ F_{∥}}{m} (използваме втория закон на Нютон за успоредни посоки) \\ a_{∥} & = \frac{m g \sin θ - F_{s}}{m} (заместваме с успоредните сили на гравитацията и на триене при движение friction) \\ 0 & = \frac{m g \sin θ - F_{s}}{m} (тъй като колата не се плъзга, ускорението е нула) \\ 0 & = m g \sin θ - F_{s} (умножаваме двете страни по m) \\ 0 & = m g \sin θ - F_{s max} (assume F_{s} е равно на максималната стойност F_{s max}) \end{aligned}

Силата на статично триене ще се увеличава, когато правиш уличката по-стръмна. Тъй като искаме да я направим така, че колата да не се пързаля, ще приемем, че сме достигнали ъгъла, при който силата на статично триене е толкова голяма, колкото би могла да бъде за това количество нормална сила и коефициент на статично триене.

Трябва да направим това, за да можем да заместим с

F_{s max} = μ_{s} F_{N}

за силата на статично триене.

\begin{aligned} 0 & = m g \sin θ - μ_{s} F_{N} (заместваме формулата за максималната сила на триене в покой) \\ 0 & = m g \sin θ - μ_{s} (m g \cos θ) (заместваме формулата за нормалната сила при наклонена равнина) \\ 0 & = m g \sin θ - μ_{s} (m g \cos θ) (разделяме двете страни на уравнението на m g) \\ 0 & = \sin θ - μ_{s} (\cos θ) (не е ли удивително, че ъгълот не зависи от масата на колата) \\ \sin θ & = μ_{s} (\cos θ) (изразяваме sin θ) \\ \frac{\sin θ}{\cos θ} & = μ_{s} (делим двете страни на cos θ) \\ tg θ & = μ_{s} (заместваме \frac{\sin θ}{\cos θ} с tan θ) \\ θ & = {tg}^{- 1} (μ_{s}) (намираме обратен тангнес на двете страни) \\ θ & = {tg}^{- 1} (0, 75) (заместваме с числените стойности) \\ θ & = 37^{\circ} (изчисляваме и можем да празнуваме) \end{aligned}

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Библиотека по физика

Курс: Библиотека по физика > Раздел 3

Какво са наклонените равнини?

Как използваме втория закон на Нютон, когато си имаме работа с наклонени равнини?

Как намираме ⊥‍ и ∥‍ компоненти на гравитационната сила?

Каква е нормалната сила FN‍ за обект върху наклонена равнина?

Как изглеждат решени примери с наклонени равнини?

Пример 1: Шейна

Пример 2: Стръмна уличка

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Как намираме $⊥$ ‍ и $∥$ ‍ компоненти на гравитационната сила?

Каква е нормалната сила $F_{N}$ ‍ за обект върху наклонена равнина?