Основно съдържание

Курс: Библиотека по физика > Раздел 3

Урок 1: Закони на Нютон

Какво гласи вторият закон на Нютон?

Направи кратък преговор на наученото за трите закона на Нютон.

Какво гласи вторият закон на Нютон?

С навлизането в света на физиката ще научиш, че вторият закон на Нютон е един от най-важните физични закони. Използва се в почти всяка глава на всеки учебник по физика, така че е важно да овладееш този закон възможно най-бързо.

Знаем, че обектите могат да ускоряват, само ако върху тях действат сили. Вторият закон на Нютон ни казва колко точно ще се ускори обект при дадена сумарна сила.

a = \frac{Σ F}{m}

За да е ясно,

a

е ускорението на обекта,

Σ F

е сумарната сила върху обекта, а

m

е масата на обекта.

Той е. Това е същата формула като

F = m a

, само че сме написали силата по-точно като сумарна сила

Σ F

и сме разделили двете страни на масата

m

, за да получим ускорението

a

само от едната страна на уравнението.

a = \frac{Σ F}{m}

Едно предимство на записването на втория закон на Нютон в тази форма е, че е по-малко вероятно човек да си помисли, че

m a

– маса по ускорение – е някоя конкретна сила върху обекта. Изразът

m a

не е сила,

m a

е това, на което е равна сумарната сила.

Ако гледаме вида на втория закон на Нютон, показан по-горе, виждаме, че ускорението е пропорционално на сумарната сила,

Σ F

, и е обратнопропорционално на масата,

m

. С други думи, ако сумарната сила се удвои, ускорението на обекта би станало два пъти по-голямо. По същия начин, ако масата на обекта се удвои, ускорението му ще стане наполовина по-малко.

Какво означава сумарна сила?

Силата е отблъскване или привличане, а сумарната сила

Σ F

е резултантната сила или сумата на силите, които действат върху обект. Събирането на вектори е малко по-различно от събирането на числа. Когато събираме вектори, трябва да вземем предвид тяхната посока. Сумарната сила е векторната сума на всички сили, които действат върху даден обект.

Можем да намерим сумата на множество векторни сили графично по правилото на триъгълника. Това означава, че поставяме началото на всеки вектор, който искаме да добавим, към върха на предишния вектор. След това, след поставянето на последния вектор, целият вектор ще сочи от началото на първия вектор към върха на последния, както е показано на графиката по-долу.

Например да разгледаме за двете сили с големини 30 N и 20 N, които са приложени съответно надясно и наляво върху овцата, показани по-горе. Ако приемем, че положителната посока е надясно, можем да намерим сумарната сила върху овцата така:

Σ F = 30 N - 20 N

Σ F = 10 N надясно

Ако има повече хоризонтални сили, можем да намерим общата сила, като съберем всички сили надясно и извадим всички сили наляво.

Тъй като силата е вектор, можем да напишем втория закон на Нютон като

\vec{a} = \frac{Σ \vec{F}}{m}

. Това показва, че посоката на вектора за ускорение съвпада с посоката на вектора за общата сила. С други думи, ако сумарната сила

Σ F

сочи надясно, ускорението

a

трябва да сочи надясно.

Как използваме втория закон на Нютон?

Ако в задача, която анализираш, има много сили в много посоки, често е по-лесно да анализираш всяка посока независимо.

С други думи, за хоризонталната посока можеш да запишеш:

a_{x} = \frac{Σ F_{x}}{m}

Това показва, че ускорението

a_{x}

в хоризонтална посока е равно на сумарната сила в хоризонтална посока

Σ F_{x}

, разделена на масата.

Аналогично за вертикалната посока можем да запишем:

a_{y} = \frac{Σ F_{y}}{m}

Това показва, че ускорението

a_{y}

във вертикална посока е равно на сумарната сила във вертикална посока,

Σ F_{y}

, разделена на масата.

Когато използваме тези уравнения, трябва само да внимаваме да включваме хоризонталната компонента на сумарната сила в хоризонталната форма на втория закон на Нютон и да включваме вертикалните сили във вертикалната форма на втория закон на Нютон. Правим това, защото хоризонталните сили влияят само върху хоризонталното ускорение, а вертикалните сили влияят само върху вертикалното ускорение. Например да разгледаме кокошка с маса

m

, върху която действат сили с големини

F_{1}

F_{2}

F_{3}

F_{4}

и посоки, както са показани по-долу.

Силите

F_{1}

F_{3}

влияят на хоризонталното ускорение, тъй като са насочени хоризонтално. Като приложим втория закон на Нютон за хоризонталното направление при избрана дясната посока за положителна, получаваме:

a_{x} = \frac{Σ F_{x}}{m} = \frac{F_{1} - F_{3}}{m}

Аналогично, силите

F_{2}

F_{4}

влияят на вертикалното ускорение, тъй като са насочени вертикално. Като приложим втория закон на Нютон за вертикалното направление при избрана посоката нагоре за положителна, получаваме:

a_{y} = \frac{Σ F_{y}}{m} = \frac{F_{2} - F_{4}}{m}

Внимание: често срещана грешка е включването на вертикалните сили в хоризонталното уравнение и обратно.

Какво правим когато сила е насочена под ъгъл?

Когато има сили в диагонални посоки, пак можем да анализираме силите във всяко направление независимо една от друга. Но диагоналните сили ще имат принос и за хоризонталното, и за вертикалното ускорение.

Например да кажем, че силата

F_{3}

върху кокошката е под ъгъл

θ

, както е показано по-долу.

Силата

F_{3}

ще окаже влияние и върху хоризонталното, и върху вертикалното ускорение. Както, обаче, само хоризонталната компонента на

F_{3}

ще окаже влияние върху хоризонталното ускорение; така и само вертикалната компонента на

F_{3}

ще окаже влияние върху вертикалното ускорение. Така че ще разложим силата

F_{3}

на хоризонтална и вертикална компонента, както е показано по-долу.

Сега виждаме, че силата

F_{3}

може да бъде разглеждана като състояща се от хоризонтална сила

F_{3 x}

и вертикална сила

F_{3 y}

Като използваме тригонометрия, можем да намерим големината на хоризонталната компонента с

F_{3 x} = F_{3} cos θ

. Аналогично, можем да намерим големината на вертикалната компонента с

F_{3 y} = F_{3} sin θ

Понеже

sin θ = \frac{срещулежащ}{хипотенуза}

, можем да свържем големината на вертикалната компонента на

F_{3 y}

с големината на цялата сила

F_{3}

sin θ = \frac{F_{3 y}}{F_{3}}

И като изразим

F_{3 y}

, получаваме:

F_{3 y} = F_{3} sin θ

Аналогично, понеже

cos θ = \frac{прилежащ}{хипотенуза}

, можем да свържем големината на хоризонталната компонента на

F_{3 x}

с големината на цялата сила

F_{3}

cos θ = \frac{F_{3 x}}{F_{3}}

И като изразим

F_{3 x}

, получаваме:

F_{3 x} = F_{3} cos θ

Сега можем да продължим както обикновено като заместим с всички хоризонтално насочени сили в хоризонталната версия на втория закон на Нютон.

a_{x} = \frac{Σ F_{x}}{m} = \frac{F_{1} - F_{3 x}}{m} = \frac{F_{1} - F_{3} cos θ}{m}

Аналогично, можем да заместим с всички вертикални сили във вертикалната версия на втория закон на Нютон.

a_{y} = \frac{Σ F_{y}}{m} = \frac{F_{2} - F_{4} + F_{3 y}}{m} = \frac{F_{2} - F_{4} + F_{3} sin θ}{m}

Предполагаме, че посоките надясно и нагоре са положителни. И тъй като променливите в уравнението –

F_{2}

F_{3} cos θ

– представляват големините на силите, приложени върху кокошката, трябва да поставим знаци минус на тези, които сочат наляво или надолу.

Как изглеждат решени примери с втория закон на Нютон?

Пример 1: Костенурката Нютон

Върху костенурка, тежаща 1,2 килограма, са приложени четири сили, както е показано на графиката по-долу.

Какво е хоризонталното ускорение на костенурката Нютон?
Какво е вертикалното ускорение на костенурката Нютон?

За да намерим хоризонталното ускорение, ще използваме втория закон на Нютон за хоризонталното направление.

a_{x} = \frac{Σ F_{x}}{m} (Започваме с втория закон на Нютон за хоризонталното направление.)

a_{x} = \frac{(30 N) cos 30^{\circ} - 22 N}{1, 2 kg} (Въведи хоризонталните сили с правилните отрицателни знаци.)

a_{x} = \frac{26 N - 22 N}{1, 2 kg} (Уверяваме се, че калкулаторът ни е в режим градуси, ако са ни дадени градуси.)

a_{x} = 3, 3 \frac{m}{s^{2}} (Изчисляваме и отпразнуваме!)

За да намерим вертикалното ускорение, ще използваме втория закон на Нютон за вертикалното направление.

a_{y} = \frac{Σ F_{y}}{m} (Започваме с втория закон на Нютон за вертикалното направление.)

a_{y} = \frac{16 N - 12 N - (30 N) sin 30^{\circ}}{1, 2 kg} (Въведи вертикалните сили с правилните отрицателни знаци.)

a_{y} = \frac{16 N - 12 N - 15 N}{1, 2 kg} (Уверяваме се, че калкулаторът ни е в режим градуси, ако са ни дадени градуси.)

a_{y} = - 9, 2 \frac{m}{s^{2}} (Изчисляваме и отпразнуваме!)

Да, щом знаем хоризонталната и вертикалната компонента на ускорението, можем да използваме питагорова теорема, за да намерим големината и посоката на цялото ускорение.

a_{t o t a l}^{2} = a_{x}^{2} + a_{y}^{2}

a_{t o t a l}^{2} = (3, 3 \frac{m}{s^{2}})^{2} + (- 9, 2 \frac{m}{s^{2}})^{2}

a_{t o t a l}^{2} = 96 \frac{m^{2}}{s^{4}}

a_{t o t a l} = 9, 8 \frac{m}{s^{2}}

За да получим ъгъла на общото ускорение, можем да използваме

tan θ = \frac{| a_{y} |}{| a_{x} |}

tan θ = \frac{| - 9, 2 \frac{m}{s^{2}} |}{| 3, 3 \frac{m}{s^{2}} |} = 2, 8

θ = {tan}^{- 1} (2, 8)

θ = 70^{\circ}

Общото ускорение сочи надясно и надолу, тъй като хоризонталната компонента

a_{x}

е положителна, а вертикалната компонента

a_{y}

е отрицателна. Връзката между общото ускорение, компонентите на ускорението и ъгъла е показана по-долу.

Пример 2: Сирене на нишки

Парче сирене виси в покой на две нишки, които упражняват сили с големини

F_{1}

F_{2}

, както е показано по-долу. На сиренето също така действа и гравитационна сила с големина

20 N

, насочена надолу.

Каква е големината на силата $F_{1}$ ‍?
Каква е големината на силата $F_{2}$ ‍?

Ще започнем, като използваме хоризонталната или вертикалната версия на втория закон на Нютон. Не знаем стойността на хоризонталните сили, но пък знаем големината на вертикалните сили –

20 N

. Тъй като имаме повече информация за вертикалното направление, ще анализираме първо него.

a_{y} = \frac{Σ F_{y}}{m} (Започваме с втория закон на Нютон за вертикалното направление.)

a_{y} = \frac{F_{1} sin 60^{\circ} - 20 N}{m} (Въведи вертикалните сили с правилните отрицателни знаци.)

0 = \frac{F_{1} sin 60^{\circ} - 20 N}{m} (Вертикалното ускорение е нула, тъй като сиренето е в покой.)

0 = F_{1} sin 60^{\circ} - 20 N (Умножи двете страни по масата m .)

F_{1} = \frac{20 N}{sin 60^{\circ}} (Намери F_{1} .)

F_{1} = 23 N (Пресмятаме и отпразнуваме!)

За да намерим

F_{2}

, ще използваме втория закон на Нютон за хоризонталното направление.

a_{x} = \frac{Σ F_{x}}{m} (Използваме втория закон на Нютон за хоризонтално направление.)

a_{x} = \frac{F_{1} cos 60^{\circ} - F_{2}}{m} (Въведи хоризонталните сили с правилните отрицателни знаци.)

a_{x} = \frac{(23 N) cos 60^{\circ} - F_{2}}{m} (Въведи стойността на F_{1} = 23 N получена от вертикалното изчисление.)

0 = \frac{(23 N) cos 60^{\circ} - F_{2}}{m} (Хоризонталното ускорение е нула, тъй като сиренето е в покой.)

0 = (23 N) cos 60^{\circ} - F_{2} (Умножи двете страни на масата m .)

F_{2} = (23 N) cos 60^{\circ} (Намери F_{2} .)

F_{2} = 11, 5 N (Пресмятаме и отпразнуваме!)

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.