Хармонично трептение, част 2 (математически анализ)

И така, в миналото видео стигнахме до преобразуване на това уравнение. И тъкмо получих, че силата е равна на масата по ускорението. И говорех за това, че ако x е функция на t, какво ще е ускорението? Ами скоростта е производната на x по отношение на времето, нали? Промяната в позицията върху промяната във времето. А ускорението е производната на скоростта, или втората производна на позицията. И така, вземам производната два пъти, на х от t, нали така? Нека пренапишем това уравнение в тези условия. Нека изтрия всичко това – всъщност искам да го запазя, за да не забравяме за какво говорим през цялото това време. Да видим дали мога да го изтрия добре. Така е доста добре. Изтриваме всичко това. Всичко това. Ще изтрия дори и това. Много добре, така. Сега обратно на работа. И така, знаем, че... надявам се, знаеш, че ускорението е втората производна на x като функция на t. И можем да преобразуваме това като произведението на масата и втората производна на x. Ще напиша това като – мисля, че най-лесният запис ще е просто x прим прим. Това си е втората производна на x като функция на t. Ще напиша символа за функция, за да помним, че става дума за функция на времето. Това е равно на минус k, по x от t. И това, което виждаме тук, току-що написаното, е всъщност едно диференциално уравнение. А какво представлява диференциалното уравнение? Това е уравнение, в което в един израз, или в едно уравнение, от двете му страни, нямаме само функция, но и производни на тази функция. Решението на диференциалното уравнение не е просто някакво число, нали така? Решенията на уравненията, с които се занимавахме преди, бяха числа или поредица от числа, може и числова редица. Но решението на дадено диференциално уравнение всъщност ще е функция, или клас от функции, поредица от функции. Така че ще отнеме малко време да си го представиш, но това е достатъчно добър пример за показване. Няма да решаваме това диференциално уравнение аналитично. Ще използваме интуицията си от това, което направихме по-рано – в миналото видео. Ще използваме това, за да предположим какво е решението на това диференциално уравнение. И после, ако проработи, ще имаме малко повече интуиция, след което всъщност ще знаем какво е местоположението на тази пружина във всеки един момент. Вълнуващо е. Това е едно диференциално уравнение. Когато показахме нагледно позицията – интуицията ни за нея с течение на времето ни казва, че това е косинусова функция, с амплитуда А. Казахме, че това е равно на A по косинус от омега t, където това е ъгловата скорост на – още не искам да навлизам в подробности, ще добием още малко интуиция след секунда. Сега това, което можем да направим, е да изпитаме този израз, тази функция – да видим дали тя удовлетворява това уравнение. Е? Ако имаме x от t, равно на A по косинус от wt, каква е производната на това, х прим от t? Можеш да преговориш видеата за производни, за да си припомниш това. Така, това е производната на вътрешната част, т.е. имаме това омега по външния скалар. А по омега. И после производната – просто прилагам верижното правило – производната на косинус от t е минус синус от това, което е вътре. Ще изнеса минуса отвън. Т.е. това е синус от wt. След това, ако търсим втората производна – това е x прим прим от t. Нека тук оцветя в различен цвят, за да не е монотонно. Това е производната на това, нали така? А каква е производната на – това са само скаларни величини, нали? Тези тук са само константи. Производната на това в скобите е омега. Умножавам омега по скаларната константа. Получавам минус A по омега на квадрат. След това производната на синус е само косинус. Но минусът още е там, защото трябваше да започна с него. Минус косинус от омега t. Сега да видим дали това е така. Ако е вярно, трябва да мога да кажа, че m по втората производна на x от t, което в този случай е това, умножено по минус А по w на квадрат по косинус от wt. Това е равно на минус k по оригиналната ни функция – по x от t. А x от t e косинус от wt. Мястото ми свършва. Да се надяваме, че разбираш какво казвам. Само заместих x прим прим, втората производна, в този израз и после заместих x от t, където това е това, ето тук. И сега получих това. Да видим дали мога да го преобразувам. Може би мога да се освободя от пружината тук горе. Опитвам се да потърся място. Не искам да заличавам това, защото мисля, че ни дава известна интуиция за това какво правим. Днес е един от дните, в които мечтая да имам по-голяма черна дъска. Изтриваме пружината. Надявам се, че запомни изображението в главата си. И мога да изтрия това. Мога да го изтрия. Мога да залича всичко това, за да имам повече място, без да премахвам тази хубава крива, която начертах в миналото видео. Почти така. ОК. Хайде пак на работа. Вече имам малко повече място. И така, всчико, което направих, беше – казахме, че чрез константата на пружината, ако запишем, че силата е равна на масата по ускорението, получаваме това. Което определено е диференциално уравнение, само представих ускорението като втора производна. След това предположих, че това е x от t, базирано на интуицията ни от схемата. Направих предположение. След това направих втората производна. Това е първата производна, това е втората производна. След това заместих с втората производна тук, и заместих с функцията тук. И получих това. Сега нека видим дали мога да опростя малко нещата. И така, ако преобразувам тук, ще получа минус mA по w на квадрат по косинус от wt е равно на минус kA по косинус от wt. Е, добре изглежда досега. Нека видим, можем да се освободим от отрицателните знаци в двете страни. От А-тата в двете страни. Можем да разделим двете страни на А. Нека това го оцветим в черно, за да знаем, че със сигурност е заличено. И така, ако се овободим от А от двете страни, ни остава това. След това – да видим, имаме m по w на квадрат по косинус от омега t е равно на k по косинус от омега t. Така, това уравнение е вярно, ако е вярно какво? Това уравнение е вярно, ако m по w на квадрат, или омега на квадрат (мисля, че това е омега), е равно на k. Или друг начин да кажем това – ако омега, повдигнато на квадрат, е равно на k/m. Или омега е равно на корен квадратен от k/m. И така, получихме го. Разбрахме колко трябва да е x от t. Казахме, че това диференциално уравнение е вярно, ако това е x от t и омега е равно на това. Така сега намерихме реалната функция, която описва позицията на тази пружина като функция на времето. x от t ще е равно на – правилно отсъдихме за А, и това е просто интуиция – точно така, защото амплитудата на тази косинусова функция е A. А по косинус – и вместо да пишем w, сега можем да запишем корен квадратен от k/m. Корен квадратен от k/m, по t. Това за мен е невероятно. Сега е налице, без да използваме толкова сложни изчисления, цяло решено диференциално уравнение. И сега мога, ако ми кажеш при 5,8 секунди къде е x, мога да ти кажа. Обаче виждам, че времето свършва, така че ще се видим в следващото видео.