Основно съдържание

Курс: Библиотека по физика > Раздел 10

Урок 1: Температура, молекулно-кинетична теория и закон за идеалния газ

Какво представлява разпределението на Максуел-Болцман?

В един газ има много молекули, движещи се с най-различни скорости. Ето един начин да мислиш за това.

Какво представлява разпределението на Максуел-Болцман?

Молекулите на въздуха, който ни заобикаля, не се движат еднакво бързо, дори ако температурата е еднаква навсякъде. Някои от молекулите се движат много бързо, някои се движат с умерена скорост, а някои едва-едва ще се движат. По тази причина не можем да зададем въпроса „Колко бързо се движи молекула в газ?“, тъй като молекула от дадена газова система може ще има една от много възможни скорости.

Така че вместо да питаме за някоя конкретна молекула на газа, ние задаваме въпроси като "Какво е разпределението на скоростта в газ при определена температура?" Във втората половина на деветнадесети век Джеймс Кларк Максуел и Лудвиг Болцман откриват отговора на този въпрос. Резултатът от това се нарича разпределение на Максуел-Болцман, защото показва как са разпределени скоростите на молекулите за идеален газ. Разпределението на Максуел-Болцман често се представя със следната графика.

y-оста на графиката на Максуел-Болцман може да се смята, че дава броя на молекулите за единица скорост. Така че, ако графиката е по-висока в дадена област, това означава, че има повече газови молекули, движещи се с тези скорости.

Да, добър довод. Броят на газовите молекули, движещи се със скорост точно

231,461 91432032804 \frac{m}{s}

е близо до нула, тъй като вероятността молекула газ да има точно тази скорост е ниска. Поради тази причина може да си помислиш, че графиката на "брой молекули" по оста y трябва да бъде нула за всички скорости по оста x.

Можем да избегнем този проблем, като си мислим, че оста x се състои от дискретни отделения с ширина

Δ v = 1 \frac{m}{s}

и просто отбелязваме броя молекули със скорости между

v

v + 1 \frac{m}{s}

. Това ще ни даде ненулеви стойности. Или можем да намаляваме размера на отделенията, за да получим желаната точност.

Докато говорим за това, за да избегнем този проблем изцяло, хората често използват нещо, наречено плътност на вероятността на вертикалната ос, вместо да използват брой молекули. Плътността на вероятностите е вероятността, за единица скорост, за намиране на частица със скорост близо до

v

Обърни внимание, че графиката не е симетрична. На горния край на графиката има по-дълга „опашка“. Графиката продължава надясно до изключително големи скорости, но вляво графиката трябва да завърши на нула (тъй като молекулата не може да има скорост, по-малка от нула).

Действителното математическо уравнение за разпределението на Максуел-Болцман е леко плашещо и обикновено не е необходимо за много учебни класове по алгебра.

Добре, ето го уравнението за разпределението на Максуел-Болцман.

f (v) = \sqrt{[\frac{m}{2 π k T}]^{3}} 4 π v^{2} e^{(- \frac{m v^{2}}{2 k T})}

Величината

f (v)

дава плътността на вероятностите като функция на скоростта

v

. Това уравнение казва, че плътността на вероятността зависи от температурата

T

на газа, масата

m

на молекулите и константата на Болцман

k

. Плътността на вероятностите е алтернативен избор за вертикалната ос, за разлика от броя молекули. Плътността на вероятностите е вероятността, за единица скорост, за намиране на частица със скорост, близка до

v

Не е нужно да разбираш напълно това математическо уравнение, за да разбереш много от идеите, свързани с разпределението на Максуел-Болцман на концептуално ниво. Така че не се притеснявай много, ако горното уравнение ти изглежда като математическа магия.

Какво означава средна квадратична скорост?

Може да мислиш, че скоростта точно под върха на графиката на Максуел-Болцман е средната скорост на молекулата в газа, но това не е вярно. Скоростта, която се намира точно под върха, е

най-вероятната скорост v_{в р}

, тъй като това е скоростта, която е най-вероятно да намериш за молекула в газ.

Средната скорост v_{с р}

на молекула в газа всъщност се намира леко надясно от върха. Причината, поради която средната скорост се намира вдясно от върха, се дължи на по-дългата "опашка" от дясната страна на графиката за разпределение на Максуел-Болцман. Тази по-дълга опашка издърпва средната скорост леко надясно от върха на графиката.

Друга полезна величина е известна като

средна квадратична скорост v_{r m s}

. Тази величина е интересна, защото дефиницията е скрита в самото име. Средната квадратична скорост е квадратният корен на средното на квадратите на скоростите. Можем да напишем средната квадратична скорост математически като

v_{с р к в} = \sqrt{\frac{1}{N} (v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + v_{3}^{2} + …)}

Може да изглежда, че този начин за намиране на средна стойност е ненужно сложен, тъй като взимаме квадратите на всички скорости, а после взимаме корен квадратен. Може да се чудиш „защо просто не вземем средната скорост?“ Но не забравяй, че скоростта е вектор и има посока. Средната скорост на молекула на газта е нула, тъй като има толкова много молекули на газове, които се движат надясно, колкото има и движещи се наляво. Това е причината първо да вземем квадратите на скоростите, което ги прави положителни. Това гарантира, че средната стойност няма да е нула. Физиците използват този трик често за намиране на средни стойности на величини, които могат да имат положителни и отрицателни стойности (например напрежение и ток във верига с променлив ток).

Средната квадратична скорост е полезна, защото кинетичната енергия на молекула е пропорционална на квадрата на скоростта (

K = \frac{1}{2} m v^{2}

). Така че, за да намерим средната кинетична енергия

K_{с р}

, трябва да вземем средно аритметичното на квадратите на скоростите.

K_{с р} = \frac{1}{N} (K_{1} + K_{2} + K_{3} + …)

K_{с р} = \frac{1}{N} (\frac{1}{2} m v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m v_{2}^{2} + \frac{1}{2} m v_{3}^{2} + …)

K_{с р} = \frac{1}{2} m [\frac{1}{N} (v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + v_{3}^{2} + …)]

K_{с р} = \frac{1}{2} m v_{с р к в}^{2}

Така че средната кинетична енергия на молекула от газа е пропорционална на квадрата на средната квадратична скорост. Изглежда странно, че средната кинетична енергия е пропорционална на тази скорост, вместо средната скорост, но за да намерим средната кинетична енергия, първо трябва да повдигнем на квадрат и след това да намерим средната стойност, а не да намерим средната стойност и след това да повдигнем на квадрат.

Трябва да отбележим, че всички тези три величини (

v_{в р}

v_{с р}

v_{с р к в}

) са доста големи, дори за газове при стайна температура. Например неонът при стайна температура (

293 K

) има най-вероятна скорост, средна скорост и средна квадратична скорост около

v_{в р} = 491 \frac{m}{s}

(или

1100 \frac{mi}{hr})

v_{с р} = 554 \frac{m}{s}

(или

1240 \frac{mi}{hr})

v_{с р к в} = 602 \frac{m}{s}

(или

1350 \frac{mi}{hr})

Какъв смисъл има площта под графиката на разпределението на Максуел-Болцман?

По оста y на разпределението на Максуел-Болцман стои броят молекули за единица скорост. Общата площ под цялата крива е равна на общия брой молекули в газа.

Ако затоплим газа до по-висока температура, върхът на графиката ще се премести надясно (тъй като средната скорост на молекула от газа ще се увеличи). Тъй като графиката се премества надясно, височината на графиката трябва да се намали, за да се поддържа същата обща площ под кривата. По подобен начин, когато газът се охлажда до по-ниска температура, върхът на графиката се премества наляво. Тъй като графиката се премества наляво, височината на графиката трябва да се увеличи, за да се поддържа същата площ под кривата. Това може да се види на кривите, които представляват газ (с постоянно количество молекули) при различни температури.

Докато газът се охлажда, графиката става по-висока и по-тясна. По подобен начин, когато газът се затопля, графиката става по-ниска и по-широка. Това се изисква, за да остава постоянна площта под кривата (общия брой молекули).

Ако молекули навлизат в системата, общата площ под кривата би се увеличила. По същия начин, ако молекулите напускат системата, общата площ под кривата би намаляла.

Как изглеждат решени примери с разпределението на Максуел-Болцман?

Пример 1: Охлаждане на газ

Газ от двуатомен азот се намира в запечатан съд. След това запечатаният съд се поставя в ледена вана и достига по-ниска равновесна температура с ледената вана.

Какво се случва със следните величини, докато газът се охлажда? (избери две верни твърдения)

(Избор А)
Средната квадратична скорост на газа се увеличава
(Избор Б)
Графиката на броя молекули като функция на скоростта става по-тясна
(Избор В)
Средната скорост на молекулите на газа намалява
(Избор Г)
Върхът на графиката на броя молекули спрямо скоростта спада надолу

Когато газ се охлажда, средната скорост намалява, тъй като молекулите се забавят.

Също така, графиката на броя на молекулите спрямо скоростта ще стане по-тясна, когато газът се охлади. Тъй като броят на молекулите остава фиксиран за запечатан съд, площта под кривата ще бъде постоянна. Тъй като върхът на графиката се измества наляво, височината на върха ще се увеличи, за да се запази същата обща площ под кривата, като по този начин кривата става по-тясна, докато се охлажда.

Пример 2: Промяна в газа

Газ има разпределение на скоростите, което изглежда по следния начин:

Кое от следните действия би накарало графиката на разпределението да се промени от крива 1 до крива 2, както е показано по-долу ?

(Избор А)
По-горещ газ се добавя към системата и новата система се оставя да достигне равновесно състояние.
(Избор Б)
Някои от молекулите напускат системата, а останалият в запечатания съд газ се загряват.
(Избор В)
Част от молекулите напускат системата, а останалите се охлаждат.
(Избор Г)
Не се добавят или отнемат молекули, но газът се охлажда в запечатан съд.

Тъй като общата площ под графиката намалява, някои от газовите молекули трябва да напуснат системата. Също така, тъй като височината на върха се е изместила наляво, средната скорост на газовите молекули е намаляла, което означава, че останалата проба е достигнала по-ниска температура.

Така че изваждане на част от газа от системата, последвано от охлаждане на останалия газ, ще доведе до промяната, която се вижда в графиката на разпределението.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.