Тяло, хвърлено под ъгъл, на наклон

В това видео искам да се справя с една задача, която би била много трудна за повечето първокурсници по физика. И, честно, не биха очаквали от теб да решиш подобна задача в повечето часове по физика в първи курс. Или ако си в клас за напреднали, може да очакват да можеш или може да е бонус задача. Но това е интересен вид задача. Понеже ще направим следното – ще изстреляме тяло по наклон. Може би сме от едната страна на един хълм. Това е хълм. Нека го направя в зелено. Да кажем, че сме от тази страна на хълма. Да кажем, че знаем наклона на хълма. И наклонът на хълма е 30 градуса от хоризонтала. Това тук е хоризонтала. Това е наклонът на хълма. И после ще изстреляме едно тяло с 10 метра в секунда. Ще го изстреляме с 10 метра в секунда. И ъгълът с хълма е 15 градуса. Под 15-градусов ъгъл с хълма. И причината това да е по-трудно от традиционната задача с движение на тяло е – можем да помислим върху това. Тялото ще бъде изстреляно и евентуално ще се приземи в някаква точка на хълма. Но не можем да направим простата илюстрация за това колко дълго е във въздуха, като използваме вертикалната му скорост, понеже не знаем какво ще е вертикалното преместване, освен ако не знаем колко надалеч надолу по хълма се приземява. Понеже колкото по-надолу по хълма се приземява, толкова по-голямо е вертикалното преместване. Тоест трябва да помислим и за хоризонталното, и за вертикалното преместване по едно и също време. И като преминем през това, ще видиш как може да бъде направено. Първото нещо, което винаги правим, когато искаш да опиташ да решиш този вид задача, е да разделим скоростта на хоризонтална и вертикална компонента. Вертикалната компонента на нашата скорост ще е големината на общата скорост, 10 метра в секунда, по – и внимавай тук, не синус от 15 градуса, а синус от ъгъла с хоризонтала. Тоест по синус от 45 градуса. Навлизам в повече детайли в предишни видеа. Няма да навлизам в това, за да спестим време. Но това се свежда до тригонометричните тъждества. Ако начертая вертикалната компонента, може да изглежда така. Това е ъгълът. Синус от 45 градуса е равен на срещуположната страна върху хипотенузата или хипотенузата по синус от 45 градуса е равно на вертикалната компонента. Оттук идва това. Нека се отървем от някои от нещата, които точно начертах, за да поизчистим дъската. Хоризонталната компонента на скоростта ни ще е, по същата логика, 10 по косинус от 45 градуса. Нека помислим какво ще е хоризонталното преместване. И ще премина направо към формулата, която извлякохме в последните няколко видеа. Хоризонталното преместване ще е началната – извинявай. Нека се заемем с вертикалното преместване. Вертикалното преместване – можех първо да направя хоризонталното преместване – но вертикалното преместване ще е началната ни вертикална скорост, която знаем, че е 10 по синус от 45 градуса. И, между другото, можем да решим това веднага. Колко е синус от 45 градуса? Синус от 45 градуса е корен квадратен от 2 върху 2. Косинус от 45 градуса също е корен квадратен от 2 върху 2. И двете от тези стойности, 10 по квадратен корен от 2 върху 2 е 5 по квадратен корен от 2. Цялото това нещо тук е 5 по квадратен корен от 2 метра в секунда. Това е вертикалната ни скорост. И хоризонталната ни скорост е също 5 по квадратен корен от 2 метра в секунда. Това малко опростява нещата. Но, както и да е, говорим за вертикалното преместване. Вертикалното преместване ще е началната вертикална скорост, 5 по квадратен корен от 2, по промяната във времето, плюс ускорението. Знаем какво е ускорението. То е -9,8 метра в секунда на квадрат. Нека запиша -9,8. Няма да запиша мерните единици, за да спестим място. По промяната във времето на квадрат. Всичко това върху 2. Извлякохме това в няколко видеа, особено в последните няколко, в които направихме тези движения на тяло в двумерното пространство. Това ни дава преместването в посока у. Мога да опростя малко това. Преместването ни във вертикална посока е равно на 5 по квадратен корен от 2 по делта t – промяната във времето, минус 4,9 по промяната във времето на квадрат. Знаем, че имаме това ограничение тук. Това ни дава вертикалното преместване като функция на времето. Нека помислим за хоризонталното преместване като функция на времето. Хоризонталното ни преместване ще е равно на хоризонталната скорост, която е 5 по квадратен корен от 2 по промяната във времето. Какво можем да направим след това? Трябва да имаме някакво отношение между хоризонталното преместване и вертикалното преместване. И отношението ще ни е дадено от този наклон. Където се приземя – да кажем, че евентуално се приземим тук. Какво ще е хоризонталното... Нека помислим за хоризонталното и за вертикалното преместване и какво ще трябва да е отношението им. Ако се приземим тук, тогава това ще е – нека направя това в същите цветове – тук ще е вертикалното ми преместване. Ще се придвижа с толкова нагоре. А хоризонталното ни преместване ще е ето тук, ще е тази дължина тук. Това е хоризонталното ни преместване. Какво е отношението между вертикалното преместване и хоризонталното преместване? И знаем, че този ъгъл ето тук е 30 градуса. Можем да използваме основна тригонометрия. Имаме правоъгълен триъгълник. Знаем срещулежащата на ъгъла страна. Знаем прилежащата страна. Тригонометричната функция, която включва срещулежаща и прилежаща, е функцията тангенс. Получаваме, че тангенс от 30 градуса ще е равен на големината на вертикалното преместване върху големината на хоризонталното преместване. И тангенс от 30 градуса, това е същото като синус от 30 градуса върху – нека го направя ето тук. Тангенс от 30 градуса е същото нещо като синус от 30 градуса върху косинус от 30 градуса. Нека направя това малко по-подредено. И синус от 30 градуса е 1/2. Това е равно на 1/2. И косинус от 30 градуса е корен квадратен от 3 върху 2. Това е равно на 1/2 по 2 върху корен квадратен от 3, което е равно на 1 върху корен квадратен от 3. Получаваме, че големината на вертикалната компонента върху големината на хоризонталната компонента – хоризонталната компонента ето тук – е равно на 1 върху корен квадратен от 3. Полезното на това е, че ни дава отношение между хоризонталната и вертикалната компонента, или между вертикалните и хоризонталните ни компоненти. И можем да използваме това ограничение тук, за да намерим едно от тези двете. И нека ти покажа как ще го направим. Нека изрично да запишем това. Нека го направим по този начин. Нека умножим на кръст, което е същото нещо като да умножим двете страни по квадратен корен от 3 и големината на хоризонталната компонента. Получаваме корен квадратен от 3 по големината... И двете от тези ще са положителни. Нека го запиша ето така. По големината на вертикалната компонента ще е равно на големината на хоризонталната компонента... Ето така. Сега имаме отношение между дължините на тези два вектора. И можем да използваме това отношение, за да заместим в ограниченията, които вече имаме. Второто ограничение тук, нека използваме тази информация. Второто ограничение ни казва, че хоризонталната компонента на преместването ни е равна на 5 по квадратен корен от 2 по промяната във времето. Или друг начин да помислим за това е, ако разделим двете страни на 5 по корен квадратен от 2, получаваме, че промяната във времето е равна на хоризонталната компонента на преместването ни, делено на 5 по квадратен корен от 2. Но също знаем, че хоризонталната компонента на преместването ни е корен квадратен от 3 по вертикалната компонента на преместването ни. Тук изрично записах обозначението за големината. Когато започнем да работим само с вертикалната или хоризонталната компоненти, мога просто да го запиша така, понеже или ще е положителна, или отрицателна стойност. И това определя и големината, и посоката. Очевидно, от начина, по който го начертах тук, и двете от тези ще са положителни стойности. Това е преместване нагоре във вертикална посока, така че това е положително, според общоприетата практика. И се движим надясно. Това също е положително според общоприетата практика. Можем да преобразуваме това тук като равно на корен квадратен от 3 по вертикалното преместване. И всичко това е върху 5 по корен квадратен от 2. Причината да направя това е, че този израз тук съдържа тази информация, съдържа отношението между вертикалното преместване и хоризонталното преместване. Също съдържа информация за това как хоризонталното преместване се променя като функция на времето. Времето трябва да е равно на това. Това сега е времето като функция на вертикалното преместване, а не времето като функция на хоризонталното преместване. И сега можем да използваме това ограничение с оригиналното ни вертикално преместване като функция на времето, за да намерим вертикалното преместване. Нека направим това. Нека заместим това тук за делта t в това горното уравнение ето тук. Ако направим това – ще го запиша голямо – получаваме, че вертикалното преместване, ето тук, е равно на 5 по корен квадратен от 2 по делта t. Това е 5 по квадратен корен от 2. Делта t е всичко това тук. 5 по корен квадратен от 2 по делта t. Делта t е корен квадратен от 3 по вертикалната ни компонента. Всичко това, големината на вертикалната компонента, върху 5 по квадратен корен от 2... Това е ето това тук. Или всъщност можем да разгледаме ето това. Можем да използваме това ограничение. Това е опростено. После имаме минус 4,9 по делта t на квадрат. Делта t на квадрат е това количество на квадрат. Просто ще го запиша. Не искам да пропускам прекалено много стъпки. Делта t, отново, е корен квадратен от 3 по вертикалната компонента. Всичко това върху 5 по корен квадратен от 2, на квадрат. И какво ни дава това? Буквално имаме квадратно уравнение със само една променлива. Можем да намерим това. Но нека го преобразувам. Нека опростя. Вертикалната компонента е равна на – сега имаме 5 по корен квадратен от 2 в числителя и същото в знаменателя, и те се съкращават. Получаваме корен квадратен от 3 по вертикалната компонента, големината на вертикалната компонента. Всъщност също уточнява, е, големината, засега можем да кажем, въпреки че не използвам това обозначение... После имаме минус 4,9 по това число на квадрат. Това ще е – корен квадратен от 3 на квадрат е 3, по вертикалната компонента на квадрат. И после върху 5^2, което е 25, по 2. Това е корен квадратен от 2 на квадрат. 25 по 2 е 50. Ако опростим това още малко, получаваме... Нека извадим това от двете страни. Получаваме – ще направя всичко в един цвят – 0 е равно на корен квадратен от 3, минус 1, по вертикалната компонента. Понеже, ако извадим това от двете страни, това е корен квадратен от 3 по вертикалната компонента минус 1 по вертикалната компонента. Това е корен квадратен от 3 минус 1 по вертикалната компонента. И после имаме всичко това. Минус 4,9 по 3 върху 50, по вертикалната компонента на квадрат. И, за наше щастие, можем да изнесем едно от тези s с индекс у ето тук, един от тези вектори. И получаваме – ще направя това на правилното място – нека просто – не искам да пропускам твърде много стъпки. Това е равно на корен квадратен от 3 минус 1 минус 4,9. Нека направя това в този цвят. Нека го направя така. Това е равно на корен квадратен от 3 минус 1 минус (4,9 по 3 върху 50) по едно от тези, по вертикалната компонента. И изнесохме един от тези вертикални компоненти. Изнесохме един от тези. Вертикалната компонента на нашето преместване може да е или – имаме произведението на две неща, които са равни на 0. Вертикалното ни преместване може да е 0, което е вярно, понеже в някакъв момент буквално имахме 0 вертикално преместване. Това буквално беше откъдето започнахме. Но това не е отговорът, който търсим. Търсим това вертикално преместване. Или това ще е равно на 0... Но това е очевидният отговор. Или всичко това ще е равно на 0. Но това е доста лесно да решим за 0 ето тук. Получаваме корен квадратен от 3 минус 1 минус 4,9... Нека изчисля всички тези неща, за да не трябва да продължавам да ги пиша. Получаваме, че корен квадратен от 3 минус 1 е равно на 0,73205. Просто ще запиша 0,732. Това е равно на 0,732. Това е тази част тук. А после 4,94. Знам, че тази задача става дълга. Ако се умори, спри я и си почини. 4,9 по 3, делено на 50, е равно на 0,294. Тоест минус 0,294. Мога да поставя 0 отпред, за да поясним къде сме. По това, по вертикалната компонента. Това също може да е равно на 0. Или това е 0, или това е 0. Когато това е 0, то ни дава очевидния отговор. Повече ни интересува ето това. За да го намерим, добавяме това към двете страни. И получаваме, че 0,732 е равно на -0,294 по вертикалната компонента. Почти приключихме. Делим двете страни на това, на -0,29. О, извинявай, това сега ще е положително. Почти направих грешка от небрежност след 16 минути видео. Сега делим двете страни на 0,294 и получаваме вертикалното преместване. Мисля, че следват аплодисменти. Се га имаме 0,732 и всичко това, но ще закръгля, делено на 0,294, и ни дава вертикално преместване от, ако закръглим, 2,50 метра. Или трябва да кажа 2,49 метра. Това е равно на 2,49 метра. Това е вълнуващо. Това е равно на 2,49 метра. И сега доста лесно можем да намерим хоризонталното преместване, понеже знаем, че хоризонталното преместване е корен квадратен от 3 по вертикалното преместване. Нека намерим това. Това е вертикалното преместване. Нека умножим това по корен квадратен от 3. И получаваме 4,31 метра. Получаваме хоризонталното преместване. Хоризонталното преместване е равно на 4,31 метра. Това е равно на 4,31 метра. Сега знаем общото преместване във вертикална посока и в хоризонтална посока. И ще оставя на теб, ако искаш да намериш колко далеч по хълма сме отишли. Можеш просто да използваш и двете от тези стойности в питагоровата теорема, за да намериш хипотенузата на този правоъгълен триъгълник.