Кинетична молекулна теория на газовете

Искам да поговоря малко повече за кинетично-молекулярната теория за газовете. Тя, по същество, ни казва, че макроскопичните характеристики на един газ, като налягането или обема, или температурата, са просто резултат от микроскопичните характеристики на газовите молекули, като позицията и скоростта на тези молекули. v тук долу е скоростта. V тук горе е обемът. Идеята е, че газът е изграден от молекули. Те се носят наоколо в определени процеси. Те имат определена скорост и ако знаеш скоростите им и знаеш разпределението на скоростите и позициите тук, можеш да определиш тези макроскопични характеристики. В това видео искам да опитам да открия каква е връзката, ако знаем микроскопичните характеристики, как ще прогнозираш макроскопичните характеристики. Например, ако знам скоростите на всички тези молекули, как мога да определя какво ще е налягането, и обратно, ако знам температурата на газа, мога да кажа какви са средните скорости на тези молекули в този газ. Това ще направим. Но първо ще направим няколко предположения. Едно предположение е, че молекулите не си взаимодействат наистина и ако си взаимодействат, това ще е само поради сблъсъците. Ако има сблъсък между тези молекули, трябва да приемем, че той е еластичен и кинетичната енергия ще бъде запазена, импулсът ще бъде запазен. Подобно, ако някоя от тези молекули удари стената на съда и тук има сблъсък, той също трябва да е еластичен. Не трябва да има загубена кинетична енергия. Сега да се заемем с работа. Нека поразчистя това, да се отърва от това и да започна тук. Трябва да открия как да свържа микроскопична величина с макроскопична величина. Нека просто започна със скоростта. Да кажем, че тук имаш частица, молекула, която се движи насам с някаква скорост. Да я наречем vx, понеже се движи в посока х. Тя се сблъсква със стената. Това ще приложи сила върху тази стена. Ако имаш много такива сблъсъци, ще получиш налягане върху стената. Но това ще са еластични сблъсъци, така че тази частица ще отскочи назад със същата скорост. Нека опитаме да открием каква сила ще приложи това, понеже ако открия силата върху стената, мога да открия налягането, понеже налягането е просто силата върху площта. Силата е равно на ma, но това също е равно на делта Р, промяната на импулса, върху промяната на времето. Това е алтернативен начин да запишем втория закон на Нютон. Каква ще е промяната на импулса? Ще опитам да намеря силата върху стената, промяната на импулса, импулсът е равен на mv. Ако масата не се промени, тогава промяната на импулса е просто m по делта v, като v тук е скоростта. Тоест масата по... извинявай, скоростта. Масата по промяната на скоростта. Каква ще е промяната на скоростта за този сблъсък тук, за удрянето на стената и отскачането със същата скорост? Някои хора искат да кажат нула, понеже накрая е със същата скорост като в началото, но v е скоростта и промяната на скоростта всъщност е 2 по v, понеже идва с v и приключва с -v. Технически, промяната ще е -2v, но ще игнорирам минуса, понеже търся само големината на силата върху тази стена. m по 2 по vх върху делта t, но не искам делта t тук. Искам уравнение за състоянието, което има само налягане и обем, и скорост, и такива неща. Как мога да се отърва от делта t? Знам разстоянието тук, нека просто кажем, че дължините на страните са L. Да видим, имам кутия с размери L на L на L, на трета. Времето, което изминава между ударите, тук има импулс, и делта v, когато има сблъсъци, а после тази частица отива наляво, отскача от тази стена, после се връща обратно тук, отново я удря. Колко време има между тези сблъсъци? Времето, което ще е нужно за отиване наляво и обратно... знам, че скоростта е разстоянието върху времето. Времето, делта t, просто ще е разстоянието към скоростта и разстоянието не е просто L, понеже това ще дойде до тази страна и ще се върне обратно. Искам да знам силата върху тази стена тук. Трябва да открия колко време минава между сблъсъци в тази стена, така че това ще е 2 по L, върху скоростта в посока х. Това мога да заместя. И получавам, че F ще е m по 2 vх върху... делта t сега е 2L, върху vx, но тъй като деля на vx отдолу, преместих това отгоре и, виж, вече имах едно тук, така че просто ще го повдигна на квадрат. Мога да съкратя двойките и получавам, че силата върху стената от тази частица е масата по скоростта в посока х на квадрат, делено на L. Трябва да кажа, че тази частица не е нужно да се движи само в посока х. Може да има някаква обща скорост насам, където компонентата х е просто част от нея, но просто взех компонентата х на скоростта на тази частица – каквато и да е тази частица, тя имаше някаква скорост – компонентата х, взимам приноса на силата за налягането върху тази стена. Това е силата върху тази стена тук от една частица, но искам да знам силата от всички частици, понеже искам общото налягане. Как мога да направя това? Ако искам общата сила, просто трябва да събера приносите от всички частици. Да кажем, че има други частици. Те ще имат същата маса m. Приемам, че имат същата маса. Всички молекули ще имат същата маса и L ще е едно и също за всички тях. Единствената разлика в приноса ще е, че някои може да имат определена компонента на скоростта в посока х. Ще нарека това vx1 на квадрат. Плюс... може да има друга частица, която има различна компонента, 2, и може да има някаква частица, която има различна компонента, 3. Просто трябва да ги събереш. Имам vх2, двата приноса на частица две, на квадрат, плюс vx3, х компонентата на скоростта на частица три, на квадрат, плюс... продължавам N на брой пъти. Продължавам да събирам тези, докато не стигна до N-тата частица, общото количество, ако има N частици тук, на квадрат, но това е средно. Всъщност, ако просто разделя двете страни на N, на общия брой частици, виж какво ще получа. Получавам силата върху N е равно на m делено на L по – цялото това нещо делено на – N е просто средната стойност. Средната стойност на кое? Средната стойност на vх на квадрат и това е средната стойност на vx на квадрат, така че ще поставя чертичка над това. Тя означава, че това е средната стойност на vx на квадрат. Това не е квадратът на средните стойности на vx. Това е различно. Ако просто взема средните стойности на vx, vx 1 + vx2 + vx3... делено на N, и после го повдигна на квадрат, ще получа различен резултат, така че това е важно да се отбележи. Първо, повдигаш ги на квадрат, взимаш средната стойност и правиш това. Взимаш средната стойност на квадратите, не квадрата на средната стойност. Добре, продължаваме. Получаваме, че F е равно на N по m/L, средната стойност на vx на квадрат. Но какво искаме да направим с това? Обещах ти връзка между скорост и налягане, така че нека превърнем това в налягане. Да определим какво е налягането върху тази площ тук. Трябва да превърна това в налягане. Това не е толкова трудно. Налягането е просто силата върху площта, така че просто деля това на площта на тази стена. Ако разделя лявата страна на площта, трябва да разделя и дясната страна на площта. Какво ми оставя това? Вляво получавам налягането, това е добре, макроскопична променлива, е равно на N*m по vx на квадрат, усреднено, върху всички газови молекули, делено на А*L, но какво е А? А е просто L на квадрат. Отдолу получавам L на квадрат по L. Това е просто L на трета. И виж какво ще се случи. L на трета е просто обемът. Това е обемът на този куб. Така че получавам N, броя молекули, по m, масата на една от молекулите, по средната стойност на х компонентата, на квадрат, върху всички газови молекули, делено на V, това е обемът. Приближаваме се. Това изглежда като закона за идеалния газ, така че това е много добре. Нека взема този резултат и да го поставя в нов прозорец, за да получим чист резултат. И виж какво получих. Получих, че налягането по обема, ако умножа двете страни по V, налягането по обема е равно на броя газови молекули по m, по средната стойност на квадрата на х скоростта в газа. Това е много готино. Ако измеря налягането на един газ и обема на един газ, мога да опитам да открия какви са тези средни квадрати на х компонентите на скоростта в газа. Това е микроскопична величина. Сега имаме връзка. Но не ме е грижа само... не се интересувам само от х. Има също у и има други посоки тук. Защо бихме искали уравнение само за х? Обикновено ще имаш формула. По-добре ще е ако просто ти кажеха общия среден квадрат на скоростта. Нека направим това. Ако това е в посока х, ако имах скорост в посока х, но тези частици също имат скорост в посока у, така че общото, знаем, че V общо ще е vx на квадрат плюс vy на квадрат... и има още едно. Живеем в три измерения, ето, v в посока z. Това е Питагоровата теорема в три измерения. Работи и в три, точно както работи в две, но това уравнение работи и ако ги усредниш. Ако вземеш всички средни стойности на квадратите на х компонентите на скоростта и взема средната стойност на всички квадрати на vy компоненти на скоростта, ако взема тези и ги усредня, това уравнение пак е вярно. Опа, това трябваше да е на квадрат. Това v общо тук трябваше да е на квадрат. Взимаме средната стойност. Сега ще направя едно твърдение. Ще кажа, че частиците тук се носят наоколо на случаен принцип. Няма една единствена посока. Няма предпочитана посока. Те имат същата средна скорост във всяка посока, колкото във всяка друга посока. v в посока х на квадрат, усреднено за всички газови молекули, трябва да е равно на v в посока у на квадрат, понеже защо би било различно? Защо у би било предпочитано пред х? Имам предвид, средно погледнато. Ако имаше много газови молекули, те трябва, статистически, дори vz, трябва да са равни на средното от тези квадрати. Тези трябва да са равни. Мога да запиша това като три пъти едното от тях. Три пъти vx на квадрат, средната стойност, понеже вече имах това тук горе. И сега мога... това е начин да получа v общо тук. Искам v общо, не само в една посока. Получавам vx на квадрат, усреднено за всички газови молекули, е равно на – просто ще разделя двете страни на три и получавам v общо на квадрат, усреднено за всички газови молекули, делено на три. Това е готино. Сега мога да заместя това тук и ще получа зависимост, която ни казва, че Р по v, Р по v е равно на общия брой газови молекули по масата на една газова молекула по средната стойност на квадратите на общите скорости, делено на три. Ще преработя това още малко. Ще умножа двете страни по три. Ще получа, че 3 по Pv е равно на N по m по средната стойност на v общо, на квадрат, за всички газови молекули. И ще направя още едно нещо. Ще умножа двете страни по 1/2. Може да мислиш, че това е нещо случайно, но го правя поради определена причина. Виж това. Сега погледни какво имаме тук. Този целият член тук, 1/2m по v на квадрат трябва да изглежда познато. Това е просто средната кинетична енергия на една от газовите молекули. Това е чудесно. Това ни казва, че ако знам налягането и обема, тогава имам начин да намеря каква е средната кинетична енергия на една от тези газови молекули. Това ми дава директна зависимост между кинетичната енергия на една газова молекула или средната кинетична енергия и какви са макроскопичните налягане и обем. Това е толкова важно, че ще го запиша отново. Открихме, че 3/2 по налягането, по обема, е равно на N по средната кинетична енергия на една газова молекула. Какво можем да направим с това? Можем да направим още няколко неща. P по v, знам колко е това. Помниш ли от закона за идеалния газ – PV е равно на N kT, така че мога да заместя с NkT тук и ще получа, че 3/2 по N, по k, по T, е равно на N, средната кинетична енергия. Тези N се съкращават и получавам директна формула, че средната кинетична енергия в един газ, средната кинетична енергия на една отделна газова молекула, е равна на 3/2 kBT. Това е хубаво. Това ми казва директно, че ако знам температурата, мога директно да определя средната кинетична енергия на една от тези газови молекули, без значение какъв вид газ имам, стига той да е идеален, и това е много готино. Нещо друго, което е полезно, е, че това е средната кинетична енергия на една газова молекула. Това е N, всички газови молекули, общият им брой. Цялото това нещо тук е общата енергия, общата топлинна енергия, на този газ, ако той се състои от отделни атоми, ако газовата молекула не е двуатомна, ако е само моноатомен газ, той има само кинетична енергия. Това е единствената енергия, която имаш, така че 3/2 PV е общата енергия на газа или можеш да го запишеш като 3/2 NkT ще е общата вътрешна енергия или искаш да вземеш 3/2 n RT е равно на общата вътрешна енергия. Тези са много полезни, но са верни само за моноатомен идеален газ, при който молекулите, които изграждат газа, са съставени само от един атом, като хелий или неон, или някой от благородните газове. Ако имаш моноатомен идеален газ, тези формули ти дават директна връзка между макроскопични величини и общата вътрешна енергия на този газ. Тези са особено полезни и е полезно да отбележим, че под обща вътрешна енергия за моноатомен идеален газ имаме предвид общата кинетична енергия. Хората са смятали, че това са различни енергии. Помни, че хората са смятали, че има топлинна енергия, нещо ново, нещо различно. Но не, Болцман ни е казал, че това е предимно кинетична енергия и за моноатомен идеален газ тук има само кинетична енергия. U общо е друга дума за общата кинетична енергия, но когато говорим за топлинни системи, често ще чуеш това да бъде наричано обща вътрешна енергия на газа.