Означение на единичен вектор

Добър ден. Доста поработихме с вектори. В много задачи, където изстрелваме нещо – в задачите за изстрелване на тяло или задачи с наклонена равнина, винаги ти давах вектор, чертаех подобен вектор. И казвах например, че нещо има скорост от 10 метра в секунда. И е под 30-градусов ъгъл. И после го разделих на х и у компоненти. Ако нарека този вектор v, ще използвам обозначението v с индекс х и v с индекс х би бил този вектор ето тук. v с индекс х щеше да е този вектор тук. х компонентата на вектора. И после v с индекс у ще бъде у компонентата на вектора и ще е този вектор. Това беше v с индекс х, а това беше v с индекс у. И надявам се, че вече ни е втора природа да намираме тези неща. v с индекс х ще е 10 пъти косинуса на този ъгъл. 10 по косинус от 30 градуса, което мисля, че е корен квадратен от 3 върху 2, но сега не се тревожим за това. А v с индекс у ще е 10 пъти синуса на този ъгъл. Надявам се, че това ти идва естествено вече. Ако не е, просто можеш да видиш основните тригонометрични тъждества. и да кажеш, че синус от 30 градуса е срещулежащата страна върху хипотенузата. И ще се върнеш към това. Но прегледахме всичко това и трябва да си припомниш началните видеа за векторите. Но искам да направим, понеже това е полезно за прости задачи с изстрелване на тяло – но след като почнем да си имаме работа с по-сложни вектори – и може би работим с вектори в повече измерения, вектори в три измерния, или започнем да решаваме задачи от линейната алгебра, в която има дори N-векторни пространства – трябва ни смислен начин, аналитичен начин, вместо да трябва винаги да чертаем картинка, изобразяваща вектори. Ще използваме нещо, което наричам – и мисля, че всеки го нарича така – обозначение с единичен вектор. Какво означава това? Определяме тези единични вектори. Нека начертая някои оси. И важно е да помним, това отначало може да изглежда объркващо, но не е по-различно от това, което правихме при задачите по физика досега. Нека начертая осите тук. Да кажем, че това е 1, това е 2. 0, 1, 2. Не знам, може би пишех на арабски, наобратно. Това е 0, 1, 2, това не е 20. И да кажем, че това е 1, това е 2, в посока у. Ще определя това, което наричам единични вектори в две измерения. Първо ще определя един вектор. Ще нарека това вектор i. Това е векторът. Отива в посока х, няма компонент у и има големина 1. Това е i. Обозначаваме единичния вектор, като поставяме тази малка шапка отгоре. Има множество обозначения. Понякога в учебниците ще видиш това i без шапката и просто е удебелено. Има и някои други обозначения. Но ако видиш i и не в смисъла на имагинерно число, трябва да осъзнаеш, че това е единичният вектор. Има големина 1 и е напълно в посока х. И ще определя друг вектор и този се нарича j. И това е същото нещо, но в посока у. Това е вектор j. Поставяш малка шапка отгоре. Защо направих това? Ако работя с две измерения и, както ще видим по-късно, в три измерения – всъщност ще има трето измерение и ще го наречем k, но засега не се тревожи за това. Но ако работим в две измерения, можем да определим всеки вектор посредством някакъв сбор от тези два вектора. Как работи това? Този вектор тук, нека го наречем v. Този вектор, v, е сборът от х компонентата си плюс у компонентата си. Когато събираш вектори, можеш да ги поставиш ето по този начин. И това е сборът. Надявам се, че като вече знаем това, което знаем, знаехме, че този вектор, v, е равен на х компонентата си плюс у компонентата си. Когато събираш вектори, всъщност ги поставяш поставяш по този начин. И полученият сбор е мястото, където се озоваваш в крайна сметка. Ако събереш този вектор и после поставиш тази опашка до този връх, се озоваваш тук. Това е векторът. Можем ли да определим v с индекс х като някакво кратно на i, на този единичен вектор? Да, можем. v с индекс х е изцяло в посока х. Но няма големина от 1. Има големина от 10 по косинус 30 градуса. Големината му е 10... Нека начертая единичния вектор тук горе. Това е единичният вектор i. Ще изглежда подобно на това и това. v с индекс х е в точно същата посока и е мащабирана версия на този единичен вектор. Какво кратно е то на този единичен вектор? Единичният вектор има големина 1. Това има големина 10 по косинус от 30 градуса. Мисля, че е около 5 по корен квадратен от 3 или нещо такова. Можем да запишем v с индекс х – продължавам да сменям цветовете, за да поддържам нещата интересни. Можем да запишем, че v с индекс х е равно на 10 по косинус от 30 градуса по – това са градусите – по единичния вектор i – нека остана с този цвят, за да не се объркаш – по единичния вектор i. Логично ли е това? Единичният вектор i отива в точно същата посока. Но х компонентата на този вектор е просто много по-дълга. Тя е дълга 10 по косинус от 30 градуса. И това е равно на – косинус от 30 градуса е корен квадратен от 3 върху 2 – това е 5 по корен квадратен от 3 i. Подобно, можем да запишем у компонентата на този вектор като някакво кратно на j. Можем да кажем, че v с индекс у, у компонентата – колко е синус от 30 градуса? Синус от 30 градуса е 1/2. 1/2 по 10, това е 5. у компонента отива напълно в посока у. Това ще е кратно на този вектор j, на единичния вектор j. И какво кратно е това? Има дължина 5, докато единичният вектор има просто дължина 1. Това е просто 5 по единичния вектор j. Как можем да запишем вектор v? Знаем, че вектор v е сборът от х компонентата и у компонентата. И също знаем – това е целият вектор v. Каква е х компонентата? х компонентата може да бъде записана като кратно на х единичния вектор. Това е ето тук. Можем да го запишем като 5 по корен квадратен от 3 i плюс у компонентата. Каква е у компонентата? у компонентата е просто кратно на у единичен вектор, който е наречен j, с малка забавна шапка отгоре. И това е просто това. Това е 5 по j. Сега, като определихме тези единични вектори – мога да променя този цвят, за да помниш, че това е i. Единичният вектор е това. Като използваме единични вектори в две измерения и можем финално да ги направим в множество измерения, можем аналитично да изразим всеки двумерен вектор. Вместо да трябва да го чертаем, както го правехме преди и да трябва да разделяме компонентите и да го правим визуално, можем да останем в аналитичен режим, а не в графичен режим. И това е много полезно, понеже ако мога да запиша един вектор в този формат, мога да събирам и изваждам, без да трябва да прибягвам до визуални инструменти. Какво имам предвид с това? Ако трябва да намеря някакъв вектор 'а', равен на 2i + 3j, и имам някакъв друг вектор b – тази малка стрелка просто означава, че това е вектор, понякога ще я видиш като цяла стрелка – равен на 10i + 2j, ако попитам какъв е сборът на тези два вектора, а + b... Преди да имаме това обозначение с единичния вектор, щеше да трябва да ги чертаем и да ги поставяме връх до опашка. И трябваше да го правиш визуално и щеше да ти отнеме много време. Но след като го разделиш на х и у компоненти, можеш поотделно да събереш х и у компонентите. Вектор а плюс вектор b, това е просто (2 + 10) по i плюс (3 + 2) по j. И това е равно на 12i + 5j. И понякога може да искаш – може би ще направя това в друго видео – да начертаеш тези два вектора и да ги събереш визуално. Ще видиш, че получаваш същия този отговор. И докато преминаваме към бъдещи видеа, ще видиш, че това е супер полезно, след като започнем да решаваме по-сложни задачи по физика или след като започнем да решаваме задачи по физика с висша математика. Както и да е, свършва ми времето. Ще се видим в следващото видео.