Графично представяне на връзката между f и f'

Тук имаме графиката на някаква функция, ще я означа с f(х), и на производната ѝ f'(х). Трябва да определим коя от тях е f(x) и коя е f'(х). Да видим. Да помислим какъв е случаят, ако зелената крива е графика на f(х). Дали е наистина така. Ако зелената крива е за f(х), дали оранжевата крива, или жълтата крива, би могла да е f'(х)? Да помислим какво се случва със зелената функция в различни точки. Зелената функция ето тук, точно в тази точка, ако започнем отляво, има положителен наклон. Ако оранжевата функция е f'(х), тя трябва да е... ако тя е производната на зелената функция, тогава това трябва да е положително, защото наклонът на зелената функция е положителен в тази точка. Но виждаме, че той не е положителен. Очевидно е, че зелената функция не може да е f(х), а жълтата не може да е нейната производна, защото ако това е производната, тя трябва да е положителна тук. Значи така бързо определихме, че случаят не е такъв. Сега да видим дали става по обратния начин. Струва ми се... просто изключваме този вариант – може би това е f(х), а зелената функция е f'(х). Да видим дали можем да го потвърдим. Когато започваме отляво, f(х), или това, което мислим, че е f(х), има значителен положителен наклон. Това съответства ли? Да, със сигурност. Зелената функция е положителна. Всъщност, в тази точка виждаме, че наклонът на допирателната би трябвало да е около 2 и 1/2. Изглежда, че наклонът на допирателната е точно 2 и 1/2 ето тук. Всъщност ще изтрия това, защото да не изглежда, че търсим наклона на допирателната на производната. Това изглежда ето така. Виждаме, че наклонът на допирателната ето тук е около 2 и 1/2, което е стойността на функцията ето тук, около 2 и 1/2. Дотук зелената функция изглежда като добър кандидат за производна на жълтата. Да продължим нататък. Да видим какво се случва, като се движим надясно. Ето тук, да видим. Изглежда, че наклонът на тази жълта функция... ще го оцветя, за да се вижда... той продължава да нараства. Нараства, нараства. После в някаква точка достигаме максимален наклон, и после започва да намалява отново. Наклонът започва да намалява, докато не стане 0 ето тук. Зелената функция описва ли това? Да видим. Наклонът е положителен и се увеличава до тази точка, което съответства добре на поведението. После наклонът остава положителен, но започва да намалява. И това виждаме тук. Наклонът е положителен и намалява, докато стане 0 в тази максимална точка тук. Виждаме, че стойността на зелената функция става нула. Изглежда, че много добре описва наклона на допирателните на оранжевата функция. И после наклонът става все по-отрицателен, докато стигне до някаква минимална точка ето тук. Наклонът достига някаква минимална точка ето тук. и после става все по-малко отрицателен. Да видим колко добре мога да го начертая. Наклонът става все по-малко отрицателен, докато отново достигнем наклон 0. И после започва да става положителен, докато достигне максимална стойност. После остава положителен, но по-малко положителен. Става все по-малко положителен. Изглежда много очевидно, че оранжевата крива е графика на функцията f(х), а зелената крива е графика на функцията f'(х).