Събиране и изваждане на матрици

Нека помислим как можем да дефинираме "Събиране на матрици". Математиците са можели да изберат много различни начини да определят събирането, но са избрали да го дефинират по начин, който има смисъл и също има приятни свойства, които ни позволяват да правим интересни неща с матрици по-нататък. Ако ти беше сред тези математици, които първо са определяли как ще се събират матрици, как щеше да дефинираш събирането на тази първа матрица с втората? Най-разумното нещо, което може да ти е хрумнало, особено защото тези две матрици имат еднакви размери – (тази е матрица 2х3. Тя има 2 реда и 3 колони. Тази също е матрица 2х3. Тя също има 2 реда и 3 колони.) – е просто да събереш съответстващите елементи. Ако ти е хрумнала тази идея, значи мислиш по същия начин като повечето математици. Събирането на матрици трябва буквално да бъде просто да съберем съответстващите елементи. Така че в тази ситуация ще съберем 1 + 5, за да получим съответстващия елемент в сбора, който е 6. Можеш да събереш –7 + 0, за да получиш –7. Можеш да събереш 5 + 3, за да получиш 8. Можеш да събереш... Свършват ми цветовете вече... Можеш да събереш 0 + 11, за да получиш 11. Можеш да прибавиш 3 към –1, за да получиш 2. Можеш да събереш –10 + 7, за да получиш –3. Ако погледнеш тази дефиниция за събиране на матрици, ще видиш, че всъщност няма значение в каква последователност събираме тези матрици. Можех да го направя по обратния начин. Ако ги бях събрал по обратния начин – нека копирам и поставя това. Ако бях събрал тази матрица... нека копирам и поставя. Ако събера тази матрица и тази матрица, копирам и поставям, ще видиш, че последователността, в която събирам матриците, не е от значение. Същото е като да събирам числа. А + B е същото нещо, както B + А. Ще видим, че това няма да е вярно за всички операции с матрици, които учим, и по-точно, това няма да е вярно за умножение на матрици. Но ако събереш тези две неща, използвайки определението, което измислихме преди малко, да събираме съответстващите елементи, ще получиш абсолютно същия резултат. Тук горе събрахме 1 + 5 и получихме 6. Тук ще съберем 5 + 1 и ще получим 6. Получаваме същия резултат, защото 1 + 5 е същото като 5 + 1. Тук имаме 0 плюс –7 и получаваме –7. Следователно ще получиш абсолютно същото нещо, каквото получихме тук горе. Когато събираш матрици, ако наречеш тази матрица тук матрица А, която обикновено бележим с главна, удебелена буква, и ако наречеш тази матрица тук Матрица B, тогава когато вземем сбора на A + B, което е това нещо тук, ще видим, че е абсолютно същото нещо както матрица B плюс матрица А. Нека сега ти задам интересен въпрос. Ами ако исках да извадя матриците? Нека отново да мислим за матрици, които имат еднакви размери. Нека работим с две матрици 2х2. Нека да бъдат 0, 1, 3, 2 и от това искам да извадя –1, 3, 0 и 5. Може би ще си кажеш, че просто изваждаме съответстващите елементи. И всъщност точно така се дефинира изваждане на матрици. Всъщност даже няма нужда да се дефинира изваждането на матрици, можеш просто да го оставиш да се прояви, както направихме със скаларното умножение и събирането на матрици. Можем да го разгледаме като същото нещо като да вземем 0, 1, 3, 2 и да ги съберем с –1 по –1, 3, 0, 5. Ако направиш изчисленията, ще получиш абсолютно същия резултат, както при изваждане на съответстващите елементи. Следователно това ще бъде... Какво ще бъде това? 0 минус –1 е 1. 1 минус 3 е –2. 3 минус 0 е 3. 2 минус 5 е –3. И виждаш, че получаваш същото нещо тук. Когато умножиш –1 по –1, получаваш 1. 1 плюс 0 е 1. –1 по 3 плюс 1 е –2. Дотук добре. Може би има въпрос, който стои в мозъка ти сега. "Добре, Сал, разбирам, че когато събирам или изваждам матрици с еднакви размери, просто събирам или изваждам съответстващите елементи. Но какво става, когато имам матрици с различни размери?" Например в случай, че искам да събера матрицата 1, 0, 3, 5, 0, 1 с матрицата – това е матрица 3х2 – и искам да я добавя към матрица 2х2. 5, 7, –1, 0. Как ще дефинираме това? Оказва се, че повечето математици не го дефинират. То е неопределено. То е недифинирано. Следователно не дефинираме събиране на матрици или изваждане на матрици, когато матриците имат различни размери. Явно няма смислен начин да се направи това, който да бъде полезен и логически издържан по някакъв приятен начин.