Използване на таблици за приблизително намиране на граници

Границите са инструмент за разбиране на поведението на функциите, а таблиците са инструмент за разбиране на границите. Една хубава черта на таблиците е, че можем да намираме по-точни приближения на границите, отколкото да ги търсим на око по графиките.

Когато използваме таблица за приблизително намиране на граници е важно да направим таблицата така, че тя да създава усещане за доближаване „безкрайно близко“ до желаната стойност на $x$‍.

Представи си, че трябва да намерим приблизителната стойност на тази граница:

Забележка: функцията всъщност е неопределена за $x=2$‍, защото знаменателят тогава е нула, но границата за $x$‍, клонящо към $2$‍ все пак съществува.

Стъпка 1: Избираме число, което е малко по-малко от $x=2$‍ (това число ще е „наляво“ от $2$‍ по стандартната ос $x$‍). Можем да започнем с нещо като $x=1,9$‍.

Стъпка 2: Опитай с още няколко стойности на $x$‍, за да пресъздадеш усещането за доближаване безкрайно близко до $x=2$‍ от ляво.

Забележи как нашите стойности на $x$‍ $\{1,9,1,99,\mathrm{1,999}9\}$‍ сякаш се „мащабират“ към $x=2$‍. По-лош избор на стойности на $x$‍ ще е с постоянна стъпка на нарастване, както при $\{-1,0,1\}$‍, което не ни помага особено да си представим как се приближаваме безкрайно близко до $x=2$‍.

Стъпка 3: Доближаваме се до $x=2$‍ отдясно по същия начин, както го направихме отляво. Искаме да го направим по такъв начин, че да получим усещане за безкрайно близко доближаване до $x=2$‍.

(Забележка: премахнахме реда $x=2$‍ от таблицата, за да спестим място, но също и защото тази стойност не ни е нужна за определянето на границата.)

Съдейки по създадената от нас таблица, имаме добър изглед границата да е равна на $0,25$‍. Но за да сме честни, трябва да признаем, че това е само добро приближение. Не можем да сме сигурни, че това е точната стойност на границата.

Ето някои неща, за които да внимаваш, когато създаваш свои таблици за приблизително намиране на граници:

Предположението, че стойността на функцията е равна на границата: Горният пример показва един случай, в който самата функция е неопределена, но граница въпреки това съществува. Избягвай да си правиш изводи за границата според стойността на функцията.

Да не се приближиш безкрайно близко: Безкрайно близкото приближаване означава да се опиташ да достигнеш все по-близо до желаната стойност на $x$‍, така че да остава все по-малка разлика между теб и това желано число — достатъчно близо, за да ни убедиш, че получената приблизителна стойност на границата е много вероятно да е самата граница.

Да не се приближиш и от двете страни: Не забравяй да се приближаваш към желаната стойност на $x$‍ както отляво, така и отдясно. Помни, че за да съществува границата, то тя трябва да е еднаква отляво и отдясно. Избягвай да си вадиш изводи за границата след като се доближиш до желаната стойност на $x$‍ само от едната страна.

Да предполагаш, че „отляво“ означава „отрицателно“: някои ученици погрешно считат, че когато се приближават отляво, то те трябва да използват отрицателни числа. В горния пример ние се приближавахме до $x=2$‍ отляво, като използвахме положителни числа, които са малко по-малки от $2$‍: например $1,9$‍ и $1,99$‍. Не предполагай, че винаги трябва да използваш отрицателни стойности на $x$‍, когато се доближаваш отляво.

Объркване на границата със стойността на функцията: Запомни, че границата на функция в дадена точка не е задължително да е равна на стойността на самата функция в тази точка. Например в Задача 2, $g(5)=6,37$‍, но ${\displaystyle \underset{x\to 5}{lim}g(x)}$‍ е около $3,68$‍.

Да смяташ, че стойността на границата е винаги цяло число: Някои граници имат „красиви“ стойности: цели числа или хубави крайни дроби. В нашия пример тя беше $0,25$‍. Но други граници са не толкова „красиви“, например границата в Задача 2, която е някъде около $3,68$‍.