Въведение към бройни системи и двоична бройна система

Още от появата на нас, хората, ние броим неща и търсим начини да проследяваме и представяме нещата, които сме преброили. Например, ако ти си праисторически човек и се опитваш да преброиш дните след последните дъждове, можеш да кажеш: "Днес не е валяло, значи мина един ден..." Днес използваме думата "един", но тогава тя може да не е била използвана. Изминава още един ден. После изминава още един ден. После минава друг ден. Минава друг ден. Друг ден изминава. Друг ден изминава и после завалява дъжд. И когато идва твоят приятел, той те пита: "Колко време мина от последния дъжд?" И ти му казваш: "Ето толкова дни изминаха от последния дъжд." А приятелят ти казва: "О, разбирам горе-долу." И в някакъв момент хората вероятно са разбрали, че ще е полезно да измислят имена за тези неща. Затова ги нарекли – ние ги наричаме едно, две, три, четири, пет, шест, седем. Очевидно, всеки език в света има различни имена за числата. Сигурен съм, че има изгубени езици, които също са имали имена за числата. Но много бързо започваш да разбираш, че тези чертички всъщност са един много непрецизен начин за представяне на числата. Първо – отнема много време, за да се запишат. Отнема много място, а после, ако по-късно някой поиска да прочете числата, той трябва да седне тук и да брои. Това е трудно за седем, а представи си, ако тук имаме 27 или 1000. Това ще отнеме вероятно една цяла страница, а когато ги броиш, може да допуснеш грешки. За да решат това, хората измислили бройните системи. Те са нещо, което днес приемаме за даденост. Може да кажеш: "Не е ли това начинът, по който винаги са брояли?" Надявам се, че в рамките на това видео ще започнеш да оценяваш красотата на бройните системи и да разбираш, че нашата бройна система не е единствената система от числа, която съществува. Бройната система, която повечето от нас познават, е бройна система с основа 10. Често се нарича десетична бройна система. Защо 10? Може би защото имаме 10 пръста. Или поне повечето от нас имат 10 пръста. Изглежда много логично да се разсъждава въз основа на групи от 10, или да имаме 10 символа. Колкото и много групи по 10 има, можем да използваме пръстите си и евентуално символите, за да оценим колко е техният брой. И понеже ни трябват 10 символа, имаме нула, едно, две, три, четири, пет, шест, седем, осем и девет. Това са 10 цифри, това са 10 символа, които използваме в десетичната бройна система. И само за да си припомним как използваме цифрите, представи си числото 231. Значи 231. Какво представлява то? Това, което е много хубаво при бройните системи, е че имаме някаква стойност, която съответства на мястото на цифрите. Позицията тук най-вдясно, това е позицията на единиците. Това е мястото на единиците. Това буквално означава една единица, една група, съдържаща едно в себе си. Значи това е една единица ето тук. До тях е мястото на десетиците. Тази цифра е на мястото на десетиците. Това 3 тук означава, че има 3 десетици. Това означава буквално три десетици. Тази двойка отпред се намира на мястото на стотиците. Това е мястото на стотиците. Тази цифра 2 представя две стотици. Събираме всички, като отново мислим при основа 10, и получаваме 231. Това са 2 стотици плюс 3 десетици, плюс 1. В десетичната бройна система всеки път, когато се преместваме наляво, ние си представяме, че имаме групи по 10 от това, което имаме отдясно. Това е мястото на единиците. Умножаваме по 10 и получаваме десетиците. Искаме да се преместим още веднъж наляво – умножаваме отново по 10. Получаваме стотиците. Ако познаваш степените, едно е равно на 10 на нулева степен. Десет е равно на 10 на първа степен. Това е мястото на десетиците. Имаме три десетици. 100 е равно на 10 на втора степен. Очевидно е, че можем да продължим така нататък до безкрай. Това е степента на системата при основа 10. Може би сега ти стана интересно: "Ами ако тук нямаме 10?" Ще се опитам да запазя нещата максимално прости. Можеш да разглеждаш този начин на записване като система с основа 1. Тук имаш само един символ. Но ако отидем към нещо малко по-сложно, двоична бройна система? Ще те зарадвам, че не само можем, ами двоичната бройна система често се нарича бинарна система. Това се нарича десетична система. Системата с основа 2 се нарича двоична система и е основа на модерните компютърни науки и технологии. Всички математически операции, които компютрите изпълняват, се основават на двоичен код или на двоичната бройна система. В двоичната система има два символа. Имаме нула и едно. Причината да се използва тази система при компютрите е, че всички хардуерни елементи, които използваме, от които са изградени модерните компютри, всички транзистори или логически платки, всички те имат състояние или включено, или изключено. Включено и изключено. И точно това се използва всеки път, когато смяташ с твоя калкулатор или нещо друго, което работи с основа 10, но всъщност всички операции, които уредът изпълнява, се извършват в двоична система. И може би ти се иска да разбереш как се работи с тази двоична система. Тук можем също да направим такива позиции, но вместо да съдържат 10 на различни степени, те ще съдържат 2 на различни степени. Ще направя няколко места ето тук. Тук, най-вдясно, 2 на нулева степен е равно на 1. Можем да наречем това мястото на единиците. После отиваме наляво. Преместваме се вляво от това място. Това е 2 на първа степен. Можем да го наречем мястото на двойките. Даже мога да го напиша, ако реша. Мястото на двойките вместо мястото на десетиците. После мога да продължа. Вместо тук да имаме 10 на втора степен или мястото на стотиците, това ще бъде 2 на втора степен или мястото на четворките. И продължаваме. Препоръчвам ти да поставиш видеото на пауза и да се опиташ да продължиш самостоятелно. Какво ще бъде тук? Това е 2 на трета степен, или мястото на осмиците. Обърни внимание, че всеки път, когато се преместваме наляво, умножаваме по 2, точно както всеки път, когато отиваме наляво, тук умножавахме по 10. Значи тук, където имахме десетки, сега тук имаме двойки. Да продължим. Да продължим нататък, за да можем да представим това число с двоичната система. Да го направим. Този цвят вече го използвах. Това тук е 2 на четвърта степен. Можем да кажем, че това е мястото на шестнайсетиците. После ще имаме... Ще използвам повторно някои от цветовете. Това е 2 на пета степен. Можем да наречем това мястото на 32-ките. После имаме 2 на шеста степен. Можем да го наречем – отново умножаваме по 2 – 2 на 6-та степен е 64. Това е мястото на 64-ките. Казва ни колко 64-ки имаме. Нула или едно 64. Ще видим това след минутка. После идваме ето тук. Това е 2 на седма степен. Това е мястото на 128-ците. И, очевидно, можем да продължим по този начин, но това е достатъчно, за да представим нашето число. В бъдещи уроци ще ти покажа как можем да го направим, но всъщност нека да представим това число. Излиза, че това число, записано в десетичната система, може да бъде представено като 11100111 в двоичната бройна система. Какво означава това? Това означава, че имаме едно 128 плюс едно 64, плюс едно 32, плюс нула 16-ци, плюс 0 8-ци, плюс 1 четворка, плюс една двойка и плюс една единица. Така че виждаш, че тези две неща са равни. Обърни внимание, това е една 128-ца. Значи това е 128 плюс 64, плюс 32. После имаме нула 16-ци и нула осмици. Няма да прибавяме 16 и 8. Плюс 4, една четворка. Плюс една двойка. Плюс една единица. Събираме ги, и отново, когато правим това, когато записваме числото по този начин, ние един вид използваме бройната система, която познаваме. Ние познаваме най-добре как да извършваме операциите в нея, но когато сметнеш това, ще видиш, че това е същото число като 231. Просто е представено по различен начин. Едната система не е по-добра от другата. Единствената причина, заради която аз превръщам това число в това, е защото съм свикнал с този начин на представяне. Свикнал съм да работя с тази бройна система. Надявам се, че това ти беше интересно. За мен това един вид ми показа мощта на нашата десетична система. В бъдещи уроци ще разгледаме и други бройни системи. Най-често използваните, тази с основа 10 се изолзва много широко, двоичната, както и 16-ичната система, в която нямаме 2 знака или 10 цифри, а имаме 16 знака. Ще ги разгледаме в бъдещи уроци, и как можем да преминаваме от една в друга, или да представяме числата при различни основи.