Определяне границите на частни, съдържащи тригонометрични функции, при аргумент, клонящ към безкрайност (недефинирани граници)

Да опитаме да намерим границата при х, клонящо към безкрайност на косинус от х върху х на квадрат минус 1. Както винаги, остави видеото на пауза и опитай най-напред самостоятелно. И така, можем да подходим по два начина. Може просто да разсъждаваме: числителят ни е косинус от х и неговите стойности са винаги между –1 и 1. Косинус от х винаги е по-голям или равен на –1, или имаме, че –1 <= cos х, също така и cos x <= 1. Числителят се движи като вълна между стойностите –1 и 1, когато х се променя, в нашия случай с нарастването на х. Колкото до знаменателя, в него има x², което при все по-големи стойности на х става много, много голямо. Излиза, че имаме числител, ограничен между –1 и 1, който е разделен на безкрайно голямо число. Когато имаме такъв ограничен числител и го разделим на безкрайно голям знаменател, знаем, че частното ще се стреми към нула. Това е единият начин на мислене. Другият начин е да представим същото разсъждение по математически издържан начин. Тъй като имаме това ограничение за косинуса, то можем да кажем, че косинус от х върху х^2 – 1 е по-малко или равно на... най-голямата стойност, която може да приеме числителят е 1, затова този израз е по-малък или равен на 1 върху x² - 1. От другата страна изразът също е ограничен: той е по-голям или равен на... най-малката стойност на числителя е минус едно, затова тук е минус 1 върху x² - 1. Повтарям, че получих това, като използвах, че косинус х може да бъде най-много 1 и най-малко –1. И така, това неравенство е вярно за всички стойности на х. Можем да кажем също, че границите на тези изрази при х, клонящо към безкрайност, ще изпълняват това неравенство: дописвам знака за граница. Тук също. Сега можем да приложим това разсъждение: числителят е константа, а знаменателят става безкрайно голям, затова тази граница е нула. Получихме, че нула е по-малко или равно на границата при х, клонящо към безкрайност на косинус х върху x² - 1, което, от своя страна, е по-малко или равно отново на нула. Отдясно също имаме константа в числителя и клонящ към безкрайност знаменател. Затова там също е нула. И така, нашата граница е между две нули. Щом като 0 е по-малко или равно на нашата граница и тя е по-малка или равна на нула, то за нея остава единствено да е равна на нула.