Основно съдържание

Курс: 11. клас (България) Профилирана подготовка Модул 2 Елементи на математическия анализ > Раздел 10

Урок 1: Производна на съставна функция

Правило за диференциране на сложна функция (преговор)

Кратък преговор върху правилото за диференциране на сложна функция.

Въведение

Дадени са две функции

f (x)

g (x)

, например,

f (x) = x^{2}

g (x) = \sin (x)

, и ние знаем как можем да намерим производната на сбора на тези две функции:


Правило:	$\frac{d}{d x} (f (x) + g (x)) = f^{'} (x) + g^{'} (x)$ ‍
Пример:	$\frac{d}{d x} (x^{2} + \sin (x)) = 2 x + \cos (x)$ ‍

Знаем също как да намерим производната на произведението на тези две функции:


Привило:	$\frac{d}{d x} (f (x) g (x)) = f (x) g^{'} (x) + g (x) f^{'} (x)$ ‍
Пример:	$\frac{d}{d x} (x^{2} \cdot \sin (x)) = x^{2} \cos (x) + \sin (x) \cdot 2 x$ ‍

Съгласно правилото за диференциране на сложна функция можем да намерим производната на функцията, която е съставена от двете функции, тоест на функцията

f (g (x))


Привило:	$\frac{d}{d x} (f (g (x)) = f^{'} (g (x)) g^{'} (x)$ ‍
Пример:	$\frac{d}{d x} (\sin (x))^{2} = 2 (\sin (x)) \cos (x)$ ‍

Обяснение с използване на математически трик

Предупреждение: Следващият раздел може да предизвика главоболие или виене на свят при читателите, които са особено чувствителни към грубо използване на математическото записване.

Обикновено изразяваме функциите и производните чрез променливата

x

\frac{d}{d x} (x^{2}) = 2 x

Но, разбира се, ние можем да използваме и други букви.

\frac{d}{d a} (a^{2}) = 2 a

А какво ще стане, ако направим нещо шантаво, като заменим символа

x

с функция, вместо с друга буква.

\frac{d}{d (\sin (x))} (\sin (x))^{2} = 2 \sin (x)

Не е ясно какво означава

\frac{d}{d (\sin (x))}

, но нека просто да го оставим в този вид за момент. Можем да си представим, че го умножаваме по

\frac{d (\sin (x))}{d x}

, за да "съкратим" члена

d (\sin (x))

\frac{d (\sin (x))^{2}}{d (\sin (x))} \cdot \frac{d (\sin (x))}{d x} = \frac{d}{d x} (\sin (x))^{2}

Това е неправилно от математическа гледна точка, тъй като членовете "

d x

" и "

d (\sin (x))

" не са числа или функции, които можем да съкращаваме. Има други начини да направим това, но те изискват по-задълбочени математически познания. Засега можеш да си представиш това като удобен математически трик. Това ни е полезно, защото при разлагането на

\frac{d}{d x} (\sin (x))^{2}

по този начин, ние виждаме какво представлява всеки отделен член, дори да не знаем как да намерим производната на

(\sin (x))^{2}

\begin{array}{r} \frac{d}{d x} (\sin (x))^{2} = \underset{\begin{array}{c} представи си, че заместваме x \\ със \sin (x) в \frac{d (x^{2})}{d x} \end{array}}{\underset{⏟}{\frac{d (\sin (x))^{2}}{d (\sin (x))}}} \cdot \underset{\begin{array}{c} познатата производна \\ на \sin (x) \end{array}}{\underset{⏟}{\frac{d (\sin (x))}{d x}}} = 2 \sin (x) \cdot \cos (x) \end{array}

Този трик изглежда много по-разбираем, когато запишем функциите обобщено, а не за конкретния пример с

x^{2}

\sin (x)

\frac{d}{d x} [f (g (x))] = \frac{d f}{d g} \cdot \frac{d g}{d x}

Пример 1:

\begin{aligned} f (x) & = \sin (x^{2}) функция, която ще диференцираме \\ u (x) & = x^{2} дефинираме u (x) като вътрешната функция \\ f (x) & = \sin (u) изразяваме f (x) чрез u (x) \\ \frac{d f}{d x} & = \frac{d f}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} правило за диференциране на сложна функция \\ \frac{d f}{d x} & = \frac{d}{d u} \sin (u) \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}) заместваме в f (u) и u (x) \\ \frac{d f}{d x} & = \cos (u) \cdot 2 x намираме производните \\ \frac{d f}{d x} & = \cos (x^{2}) (2 x) заместваме с u, изразено чрез x . \end{aligned}

Пример 2:

Сега можем да направим нещо много интересно като намиране на производната на функцията от абсолютна стойност

| x |

, която може да се дефинира като

\sqrt{x^{2}}

. Например

| - 5 | = \sqrt{(- 5)^{2}} = \sqrt{25} = 5

\begin{aligned} f (x) & = | x | функцията, която ще диференцираме \\ f (x) & = \sqrt{x^{2}} еквивалентна функция \\ u (x) & = x^{2} дефинираме u (x) като вътрешна функция \\ f (x) & = [u (x)]^{\frac{1}{2}} изразяваме f (x) чрез u (x) \\ \frac{d f}{d x} & = \frac{d f}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} правило за диференциране на сложна функция \\ \frac{d f}{d x} & = \frac{d}{d u} u^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}) заместваме във f (u) и u (x) \\ \frac{d f}{d x} & = \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 x намираме производните по правилото за диференциране на степени \\ \frac{d f}{d x} & = \frac{1}{2} {(x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 x изразяваме u (x) отново чрез x \\ \frac{d f}{d x} & = \frac{x}{\sqrt{x^{2}}} опростяваме \\ \frac{d f}{d x} & = \frac{x}{| x |} изразяваме \sqrt{x^{2}} като абсолютна стойност. \end{aligned}

Сложна функция от произволен брой функции

Правилото за диференциране на сложна функция може да се използва при съставяне на функция от повече от две функции. Нека са дадени четири различни функции

A (x)

B (x)

C (x)

D (x)

и ние да дефинираме функцията

f

, която е съставена от тях:

f (x) = A (B (C (D (x))))

Като използваме начина за записване на производните

\frac{d f}{d x}

, можем да приложим правилото за диференциране на сложна функция по следния начин:

\frac{d f}{d x} = \frac{d}{d x} A (B (C (D (x))) = \frac{d A}{d B} \cdot \frac{d B}{d C} \cdot \frac{d C}{d D} \cdot \frac{d D}{d x}

Ако използваме записването на производните с

f^{'}

, получаваме следното:

f^{'} (x) = A^{'} (B (C (D (x)))) \cdot B^{'} (C (D (x))) \cdot C^{'} (D (x)) \cdot D^{'} (x)

Пример 4:

Дадена е функцията

f (x) = \sin (e^{x^{2} + x})

Функцията

f

е съставена от функциите

\begin{aligned} A (x) & = \sin (x) \\ B (x) & = e^{x} \\ C (x) & = x^{2} + x \end{aligned}

Производните на тези функции са

\begin{aligned} A^{'} (x) & = \cos (x) \\ B^{'} (x) & = e^{x} \\ C^{'} (x) & = 2 x + 1 \end{aligned}

Съгласно правилото за диференциране на сложна функция, производната на сложната функция е

\begin{aligned} f^{'} (x) & = A^{'} (B (C (x))) \cdot B^{'} (C (x)) \cdot C^{'} (x) \\ = \cos (e^{x^{2} + x}) \cdot e^{x^{2} + x} \cdot (2 x + 1) \end{aligned}

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.