Често срещани грешки по отношение на правилото за диференциране на сложна функция

Вече направихме няколко видеа за верижното правило с няколко решени примера, но в това видео ще се фокусираме върху често срещаните грешки, като примерите ни дадоха хората, които пишат изпитните варианти в истинския Борд на Колежите. Да кажем, че искаме да сметнем производната на израза натурален логаритъм от sinx. Първото недоразумение или грешка, която много хора правят, е когато работят с трасцендентни функции като тази, а трансцендентни е просто сложна дума за функции като тригонометричните функции, логаритмичните функции, които не използват стандартни алгебрични операции. Но когато видят трансцендентна функция като тази, или съставена от такива, повечето хора я бъркат с произведение от функции. Първо като го погледнат, може да си помислят, че това е същото като производната спрямо х на lnx по sinx. И виждаш, че начинът, по който това се записва, е доста сходен, но това е произведение от две функции. Ако кажем, че lnx е f(x), а sinx е g(x), това ще е произведението от sin и g(x)... Извинявай! Това ще е произведението от f(x) и g(x), и тук ще използваме правилото за намиране на производна от произведение. За да сметнем това, трябва да използваме правилото за производна на произведение. Но това е сложна функция. Тук имаме f от g(x), а не f(x) по g(x). Следователно тук имаме... Това е нашето g(x)= sinx, а после f от g(x) е натуралният логаритъм от sinx. Това е f от g(x). Просто f от g(х). Ако някой те пита какво беше f(x), то е lnx, а f от g(x) е ln от g(x), т.е. ln(sinx). Това е първото ключово нещо. Винаги се уверявай, особено с тези трансцендентни функции, че ако това е сложна функция, трябва да използваш верижното правило, а не правилото за произведение. Това не е произведение. Понякога ще имаме комбинация. Ще имаме произведение от сложни функции, и тогава нещата стават малко по-сложни. Провери внимателно, за да се увериш, че не работиш със сложна функция. Следващата грешка, която учениците правят, е че дори и да разпознаят, че трябва да се използва верижното правило, понякога това не довежда до отговора. Нека продължим да ползваме този пример. Верижното правило ни казва: Трябва да сметнем производната на външната функция спрямо вътрешната функция. Ако в този случай f(x) е lnx, f от g(x) ще е този израз тук. Ако искаме да сметнем тази първата част, f прим от g(x), производната на lnx ще е 1 върху х. Производната на lnx е едно върху х, Но ние не искаме производната при аргумент х, искаме производната при аргумент g(x). Следователно вместо да е 1/х, ще бъде 1 върху g(x). Знаем, че g(x) е равно на sinx. Това е равно на sinx. Една основна грешка, която хората от Борда на колежите ни казаха, е че много ученици спират тук. Те правят само първата част и после забравят да умножат по тази втора част. Но тук още не сме готови. Трябва да сметнем това и да го умножим по g прим от х. Нека го запиша. Какво ще е g прим от х? Производната на sinx спрямо х, това ще бъде просто cosx. В този пример тук производната ще бъде... Да видим дали ще мога да го вместя тук. Ще бъде 1 върху sinx, което е тази част, по cosx. Нека го запиша. Ще бъде 1 върху sinx... Ще направим това в друг цвят. 1 върху sinx и после по cosx. Отново, за да сме сигурни, че няма да направим една от тези грешки... Нека оградя това така, за да е малко по-ясно. Нека се уверим, че няма да направим една от тези грешки. Трябва да разпознаем, че това е сложна функция, а не произведение от lnx и sinx. Това е ln от sinx. А когато всъщност приложим верижното правило, производната на външната спрямо вътрешната, следователно производната на lnx е 1/х, следователно това при аргумент g(x) ще бъде 1 / sinx. После умножаваме това по производната на вътрешната функция. Не забравяй да правиш това тук. Друга грешка, която учениците допускат, е вместо да правят това, което направихме ние, вместо да приложат верижното правило така, те смятат производната на външната функция спрямо производната на вътрешната функция. Например те смятат това: f прим от g прим от х. Като в този случай f прим от х е 1/х, но ако аргументът е g прим от х, g прим от х е cosx. Много ученици правят това и смятат производната на външната функция, и вкарват аргумента в това. Те използват производната на вътрешната функция. Това не е правилно. Много внимавай да не го правиш. Смята се производната на външната функция спрямо вътрешната функция, а не спрямо производната ѝ. Това се умножава, не забравяй да умножиш по производната на вътрешната функция. Надявам се, че това ти е помогнало малко. Ако всичко това ти изглежда напълно чуждо, те насърчавам да изгледаш цялата поредица от видеа за верижното правило за диференциране и решените примери, които имаме. Това е, за да е още по-сигурно, че няма да направиш тези грешки да използваш правилото за производна на произведение, когато всъщност трябва да приложиш верижното правило, или да забравиш да направиш тази част от верижното правило, да умножиш по g прим от х, или пък да сметнеш f прим от g прим от х. Надявам се, че това ти помага.