2011 Математически анализ - част 2; свободен отговор 6b

Подточка b. "Запиши първите четири члена на реда на Тейлър, различни от нула, за функцията cosх, около х = 0. Използвай този ред и реда за sinх^2, намерен в подточка а, за да запишеш първите четири члена, различни от нула от реда на Тейлър за f... за тази функция тук, центрирани около х = 0. Да започнем с първата част. Да намерим първите четири члена на реда на Тейлър, различни от нула, за реда за cosх, около х = 0. Да кажем, че... добре, ще сложа формулата за ред на Тейлър тук, центрирано около х = 0. Значи го центираме около х = 0 ето тук. Ако кажем, че h(х) е равно на cosх, тогава h(0) ще е равно на cos(0), което е равно на 1. После имаме h'(х), това ще е равно на –sinх. Можеш да погледнеш ето тук. Това е всъщност h(х). А това ще е h'(х). Тук сме една стъпка напред от там, където бяхме с g(х). Ще го направя отново ето тук, просто за да стане ясно. Първата производна за 0 е –sin(0), което е просто 0. После имаме втората производна на h(х). Производната на sin х е cos х. Но имаме знак минус отпред, така че това е –cos х. Значи h''(0) е равно на cos(0), което е 1. И отпред има минус, това е –1. После имаме третата производна на h е равна на производната от –cosх, което е +sin х. Третата производна за 0 равна на 0. После намираме производната на това, отново получаваме cos х. И цикълът започва отново. Мога да напиша, че това е равно на четвъртата производна за 0. Само да поясня думите си. Ако намеря производната на това, получавам cos х. Четвъртата производна на h е cos х отново. Значи четвъртата производна за 0 ще бъде равна на функцията, сметната за 0, което е 1. Петата производна за 0 е равна на 0. Шестата производна за 0 е равна на –1. Седмата производна за 0 е равна на 0. Засега това е достатъчно. Мисля, че определено имаме четири члена, различни от 0. Имаме този член... ще избера нов цвят. Имаме този член, защото имаме коефициент 1. Това ще бъде 0, защото коефициентът е 0. Този член е различен от нула. Този член е ненулев, защото отново имаме 1. Този член е ненулев, защото имаме –1. Можем да кажем, че cos х е приблизително равно на... защото само го апроксимираме с първите четири члена, различни от нула. Значи f(0) е 1. Това е този член ето тук. Вместо f(х), го отбелязахме с h(х), за да не се объркаме коя е оригиналната функция, дефинирана в задачата. с която ще работим във втората част на тази подточка от задачата. Значи cosх е равно на 1. h'(0) е 0, така че тук нямаме член. После f''(0), втората производна, е –1. Значи това е –х^2 върху 2! После имаме още една 0 за члена от трета степен. После имаме 1 за члена от четвърта степен. Значи плюс 1. Но няма нужда да пишем 1, това е ясно. Плюс 1 по х^4 върху 4! Следващият ненулев член е това –1 тук. Значи –1... можем да напишем само минус – това е членът от 6-а степен. Значи х^6 върху 6! И сме готови. Това са първите четири члена, различни от нула, за cosх. Сега да видим втората част от задачата. Решихме тази първа част. "Използвай този ред и реда за sinх^2, който намерихме ето тук, sinх^2... всъщност, мисля, че го записахме, това е редът за sinх^2, когато го опростихме. "Използвай тези..." – намерихме го в подточка а – "...за да намериш първите четири члена на ред на Тейлър, различни от нула, за функцията f за х = 0." Къде беше функцията ни? Нашата функция е sin(х^2) + cosх. Ще я препиша. Значи f(х) = sin(х^2) + cosх. Да запишем първите четири члена, различни от нула. Ще започнем от най-ниската степен. Можеш да кажеш, че f(х) ще бъде приблизително равна на... ние току-що я апроксимирахме с този полином ето тук. Значи, от cosх... имаме това тук, това е cos х. А sinх е ето тук. Между тези двете, най-ниската степен ето тук е това 1. Ще запиша тук 1. След това, следващата най-ниска... и в двете тук няма членове от първа степен. Няма членове х. После и в двете имаме член, съдържащ х^2. Всъщност, ще го напиша по следния начин, за да стане по-просто. Ще ги запиша. Значи sin(х^2)... ще използвам различен цвят. sin(х^2) е ето това. Това го намерихме в подточка а. Това е х^2 минус х^6 върху 3! ще напиша всичко, а после ще вземем първите четири члена – плюс х^10 върху 5! минус х^14 върху 7!. Това са първите четири члена ето тук. Но това не е точно същото като това, това е приблизително равно на това. Значи приблизително. После cosх, току-що го намерихме, е +1 –х^2 върху 2!, плюс х^4 върху 4! минус х^6 върху 6! Сега можем да изберем първите четири члена, различни от нула. И понеже приемаме, че това е ред на Тейлър, първият член ще е този с най-ниска степен, и след това ще взимаме членове с по-висока степен. Членът с най-ниска степен е ето тук. Отново, f(х) е приблизително равно на. Членът с най-ниска степен ето тук е 1. Тук ще запиша 1. После нямаме член от първа степен. Нямаме х^1 ето тук. Но имаме няколко х^2. Така че това реално ще е следващият ни член, след като съберем тези членове с х^2. Ето тук имаме х^2, но ще го напиша по този начин. Значи плюс това х^2 минус х^2 върху 2! х^2 върху 2! е просто (х^2)/2. Значи минус, мога да го напиша като 1/2 по х^2. Ще го опростя в следващата стъпка. Това ще бъде единият член, защото това ще стане 1/2 по x^2. Добре. Имаме ли членове от трета степен? Нямаме членове от трета степен. Имаме ли членове от четвърта степен? Да, имаме. Имаме ето това тук. Това е член от четвърта степен. Значи плюс х^4 върху 4! И накрая, имаме ли членове от пета степен? Нямаме членове от пета степен, няма х^5 тук. Има ли членове от 6-а степен? Да, имаме. Имаме този и този. Значи това ще бъде... имаме знак минус и пред двата. Значи това ще бъде –х^6 върху 3! плюс х^6 върху 6! Може да кажем, че това е х^6 върху 3! и после да изнесем пред скоби този знак минус. Просто сме го извадили пред скоби. Сега можем да опростим това нещо ето тук. Това ще бъде равно на... f(х) е приблизително равно на... 1 плюс... и после, ако имаме х^2 минус 1/2 х^2, това е равно на 1/2 х^2. Мога просто да напиша х^2 върху 2. После имаме, в този син цвят, плюс х^4 върху 4! После опростяваме това, 3! и 6! 6! е равно на... само да изясним всичко. 6! е равно на 3! по 4, по 5, по 6, или 3! по 120. Сега можем да умножим числителя и знаменателя тук по 4, по 5, по 6, или по 120. Само да преработя това. Ще го направя тук, защото искам това тук да е крайният отговор. Ако имам х^6 върху 3!, мога да умножа знаменателя по 4, по 5, по 6, и после да умножим числителя по 4, по 5, по 6, което е същото като да умножим по 120. Значи тук имаме 120. 4 по 5 по 6 също е 120. Сега имаме еднакъв знаменател, защото това е равно на 6! Значи имаме 120 по х^6 върху 6! плюс х^6 върху 6! е равно на 121 х^6 върху 6! Тук имаме знак минус. Значи става –121 х^6 върху 6! И сме готови. Намерихме първите четири члена, различни от 0, на нашата функция f(х).