Производни на функциите sin(x) и cos(x)

В това видео искам да разберем на какво е равна производната на функцията синус х и на какво е равна производната на функцията косинус х. Начертал съм у = cosх в синьо и у = sinх в червено. Няма да доказваме производните, но ще разберем на какво са равни, ще ги усетим, а в бъдещи видеа ще дадем и доказателство. Нека започнем със синус х. Производната може да се разгледа като наклона на допирателната. Например в тази точка тук изглежда, че наклонът на допирателната трябва да е 0. Следователно нашата производна ще е 0 при това х. Аналогично тук производната изглежда да е 0. Наклонът на допирателната ще е 0. Каквато и да е производната при това х, трябва да е равна на 0. Ако погледнем тук синус х, изглежда, че наклонът на допирателната ще е доста близо до 1. Ако случаят е такъв, тогава нашата производна при х равно на 0 ще е равна на 1. Аналогично, тук изглежда, че наклонът на допирателната е –1, което ни казва, че производната трябва да достига стойността –1 при това х. Сигурно виждаш, че се появява нещо интересно. Навсякъде, където се опитаме да начертаем наклона на допирателната, изглежда, че той съвпада с у равно на косинус х. И наистина това е така. Производната на синус х е равна на косинус х. Виждаш, че има логика не само в точките, които опитахме, но дори като тенденция. Ако разгледаме синус х тук, наклонът е 1, но тогава става по-малко и по-малко, и по-малко положителен, докато достигне 0. За косинус х стойността на функцията е 1 и става по-малко и по-малко положителна, докато стигне 0. Продължаваш така да анализираш и се уверяваш. В друго видео ще докажем това по-точно. Нека сега разгледаме косинус х. Косинус х тук. Наклонът на допирателната изглежда, че е 0. Следователно производната трябва да е 0 в тази точка. Така че може би е синус х. Нека опитаме пак. Косинус х тук. Изглежда, че наклонът на допирателната е –1, следователно искаме производната да мине през тази точка тук. Това почва да изглежда... Не изглежда сякаш производната на косинус х ще е синус х. Всъщност това е обратното на това, което прави синус х. Синус х е 1, а не –1 в тази точка. Но това е интересна теория. Може би производната на косинус е минус синус х. Нека го начертаем. Това изглежда, че съвпада. Производната на косинус х изглежда като –1. Наклонът на допирателната и отрицателния sin на този х са –1. Тук производната на косинус х изглежда като 0 и –sinx наистина е 0. Излиза, че това е така. Производната на cosх е –sinx. Това е много добре да го знаем. Да знаем този вид фундаментални тригонометрични производни. Ще можем да извеждаме други неща от тях. Надявам се, че това видео ти е помогнало да разбереш защо това е вярно, а в бъдещи видеа ще го докажем по-точно.